2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 5.4 平面向量应用举例

中小学一对一课外辅导专家-1-§5.4平面向量应用举例1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ＝a·b|a|·|b|(θ为向量a，b的夹角)长度问题数量积的定义|a|＝a2＝x2＋y2，其中a＝(x，y)(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题2．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若AB→∥AC→，则A，B，C三点共线．(√)(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决．(√)(3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．(√)中小学一对一课外辅导专家-2-(4)在△ABC中，若AB→·BC→0，则△ABC为钝角三角形．(×)(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：OP→＝OA→＋t(AB→＋AC→)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(√)1．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5，2)，C(－1，－4)，则这个三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形答案B解析∵AB→＝(2，－2)，CB→＝(6,6)，∴AB→·CB→＝12－12＝0，∴AB→⊥CB→，∴△ABC为直角三角形．2．(2014·山东)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为π6，则实数m等于()A．23B.3C．0D．－3答案B解析∵a·b＝(1，3)·(3，m)＝3＋3m，又a·b＝12＋32×32＋m2×cosπ6，∴3＋3m＝12＋32×32＋m2×cosπ6，∴m＝3.3．平面上有三个点A(－2，y)，B0，y2，C(x，y)，若AB→⊥BC→，则动点C的轨迹方程为__________．答案y2＝8x(x≠0)解析由题意得AB→＝2，－y2，BC→＝x，y2，又AB→⊥BC→，∴AB→·BC→＝0，即2，－y2·x，y2＝0，化简得y2＝8x(x≠0)．4．已知平面向量a＝(1，cosθ)，b＝(1,3sinθ)，若a与b共线，则tan2θ的值为________．中小学一对一课外辅导专家-3-答案34解析由a∥b得3sinθ－cosθ＝0，∴tanθ＝13，∴tan2θ＝231－19＝34.题型一向量在平面几何中的应用例1如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.思维点拨正方形中有垂直关系，因此考虑建立平面直角坐标系，求出所求线段对应的向量，根据向量知识证明．证明建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0λ2)，则A(0,1)，P(22λ，22λ)，E(1，22λ)，F(22λ，0)，∴PA→＝(－22λ，1－22λ)，EF→＝(22λ－1，－22λ)，∴|PA→|＝－22λ2＋1－22λ2＝λ2－2λ＋1，|EF→|＝22λ－12＋－22λ2＝λ2－2λ＋1，∴|PA→|＝|EF→|，即PA＝EF.思维升华用向量方法解决平面几何问题可分三步：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．中小学一对一课外辅导专家-4-(1)在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是BC的中点，则AC→·AE→等于()A.3＋33B.92C.3D.94(2)在△ABC所在平面上有一点P，满足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则△PAB与△ABC的面积的比值是()A.13B.12C.23D.34答案(1)D(2)A解析(1)建立如图平面直角坐标系，则A(－32，0)，C(32，0)，B(0，－12)．∴E点坐标为(34，－14)，∴AC→＝(3，0)，AE→＝(334，－14)，∴AC→·AE→＝3×334＝94.(2)由已知可得PC→＝2AP→，∴P是线段AC的三等分点(靠近点A)，易知S△PAB＝13S△ABC，即S△PAB∶S△ABC＝1∶3.题型二向量在三角函数中的应用例2已知在锐角△ABC中，两向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．(1)求A的大小；(2)求函数y＝2sin2B＋cosC－3B2取最大值时，B的大小．解(1)∵p∥q，∴(2－2sinA)(1＋sinA)－(cosA＋sinA)(sinA－cosA)＝0，∴sin2A＝34，sinA＝32，中小学一对一课外辅导专家-5-∵△ABC为锐角三角形，∴A＝60°.(2)y＝2sin2B＋cosC－3B2＝2sin2B＋cos180°－B－A－3B2＝2sin2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos(2B－60°)＝1－cos2B＋cos2Bcos60°＋sin2Bsin60°＝1－12cos2B＋32sin2B＝1＋sin(2B－30°)，当2B－30°＝90°，即B＝60°时，函数取最大值2.思维升华解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．(1)已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角A，B的大小分别为()A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3(2)△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sinC)，n＝(3a＋c，sinB－sinA)，若m∥n，则角B的大小为________．答案(1)C(2)5π6解析(1)由m⊥n得m·n＝0，即3cosA－sinA＝0，即2cosA＋π6＝0，∵π6A＋π67π6，∴A＋π6＝π2，即A＝π3.又acosB＋bcosA＝2RsinAcosB＋2RsinBcosA＝2Rsin(A＋B)＝2RsinC＝c＝csinC，∴sinC＝1，C＝π2，中小学一对一课外辅导专家-6-∴B＝π－π3－π2＝π6.(2)∵m∥n，∴(a＋b)(sinB－sinA)－sinC(3a＋c)＝0，又∵asinA＝bsinB＝csinC，则化简得a2＋c2－b2＝－3ac，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝－32，∵0Bπ，∴B＝5π6.题型三平面向量在解析几何中的应用例3(1)已知向量OA→＝(k,12)，OB→＝(4,5)，OC→＝(10，k)，且A、B、C三点共线，当k0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．(2)设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足OM→·CM→＝0，则yx＝________.答案(1)2x＋y－3＝0(2)±3解析(1)∵AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，BC→＝OC→－OB→＝(6，k－5)，且AB→∥BC→，∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，解得k＝－2或k＝11.当k0时可知k＝－2，则过点(2，－1)且斜率为k＝－2的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.(2)∵OM→·CM→＝0，∴OM⊥CM，∴OM是圆的切线，设OM的方程为y＝kx，由|2k|1＋k2＝3，得k＝±3，即yx＝±3.思维升华向量的共线和数量积在解析几何中可以解决一些平行、共线、垂直、夹角及最值问题，在解题中要充分重视数量积及其几何意义的作用．跟踪训练3(2013·湖南改编)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为________．答案2＋1解析方法一∵a，b是单位向量，∴|a|＝|b|＝1.中小学一对一课外辅导专家-7-又a·b＝0，∴a⊥b，∴|a＋b|＝2.∴|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋2a·b＋a2＋b2＝1.∴c2－2c·(a＋b)＋1＝0.∴2c·(a＋b)＝c2＋1.∴c2＋1＝2|c||a＋b|cosθ(θ是c与a＋b的夹角)．∴c2＋1＝22|c|cosθ≤22|c|.∴c2－22|c|＋1≤0.∴2－1≤|c|≤2＋1.∴|c|的最大值为2＋1.方法二建立如图所示的直角坐标系，由题意知a⊥b，且a与b是单位向量，∴可设OA→＝a＝(1,0)，OB→＝b＝(0,1)，OC→＝c＝(x，y)．∴c－a－b＝(x－1，y－1)，∵|c－a－b|＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，即点C(x，y)的轨迹是以M(1,1)为圆心，1为半径的圆．而|c|＝x2＋y2，∴|c|的最大值为|OM|＋1，即|c|max＝2＋1.三审图形抓特点典例：如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD→＝xAB→＋yAC→，则x＝________，y＝________.审题路线图图形由一副三角板构成↓(注意一副三角板的特点)令|AB|＝1，|AC|＝1↓(一副三角板的两斜边等长)|DE|＝|BC|＝2↓(非等腰三角板的特点)中小学一对一课外辅导专家-8-|BD|＝|DE|sin60°＝2×32＝62↓(注意∠ABD＝45°＋90°＝135°)AD→在AB→上的投影即为x↓x＝|AB|＋|BD|cos45°＝1＋62×22＝1＋32↓AD→在AC→上的投影即为y↓y＝|BD|·sin45°＝62×22＝32.解析方法一结合图形特点，设向量AB→，AC→为单位向量，由AD→＝xAB→＋yAC→知，x，y分别为AD→在AB→，AC→上的投影．又|BC|＝|DE|＝2，∴|BD→|＝|DE→|·sin60°＝62.∴AD→在AB→上的投影x＝1＋62cos45°＝1＋62×22＝1＋32，AD→在AC→上的投影y＝62sin45°＝32.方法二∵AD→＝xAB→＋yAC→，又AD→＝AB→＋BD→，∴AB→＋BD→＝xAB→＋yAC→，∴BD→＝(x－1)AB→＋yAC→.又AC→⊥AB→，∴BD→·AB→＝(x－1)AB→2.设|AB→|＝1，则由题意|DE→|＝|BC→|＝2.又∠BED＝60°，∴|BD→|＝62.显然BD→与AB→的夹角为45°.∴由BD→·AB→＝(x－1)AB→2，得62×1×cos45°＝(x－1)×12.∴x＝32＋1.中小学一对一课外辅导专家-9-同理，在BD→＝(x－1)AB→＋yAC→两边取数量积可得y＝32.答案1＋3232温馨提醒突破本题的关键是，要抓住图形的特点(图形由一副三角板构成)．根据图形的特点，利用向量分解的几何意义，求解方便快捷．方法二较方法一略显繁杂.方法与技巧1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函