等比数列的前n项和典型例题含解答

2．5等比数列的前n项和等比数列前n项和公式的基本运算【例1】在等比数列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求S5；(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.思路点拨：解答本题可根据条件列方程组，然后再求所要求的量．解：(1)由题意知a11＋q＝30a11＋q＋q2＝155，解得a1＝5q＝5或a1＝180q＝－56，从而Sn＝14×5n＋1－54或Sn＝1080×[1－－56n]11.(2)法一：由题意知a1＋a1q2＝10a1q3＋a1q5＝54，解得a1＝8q＝12，从而S5＝a11－q51－q＝312.法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝18，从而q＝12.又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，从而S5＝a11－q51－q＝312.(3)因为a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．从而a1＝2，an＝64，或an＝2，a1＝64.又Sn＝a1－anq1－q＝126，解得q＝2或q＝12，所以q为2或12.(1)这是一类抓基础的题，要熟练记住等比数列的通项公式及前n项和公式，运用方程的思想，解决两个最基本的量：首项a1和公比q，从而求出通项公式．在等比数列的求和问题中，经常使用整体代换的思想．(2)在使用等比数列的前n项和公式时，要注意公比q＝1和q≠1两种情况的区别．变式训练11：数列{an}为等比数列，各项均大于0，它的前n项和为80，其中数值最大的项为54，前2n项的和为6560，试求此数列的首项a1和公比q.解：∵S2n＞2Sn，∴q≠1.依题意，得a11－qn1－q＝80，a11－q2n1－q＝6560，①②②①得，qn＝81，∴q＞1，故前n项中an最大．∴an＝a1·qn－1＝54，∴a1q×81＝54.③将qn＝81代入①得a1＝q－1.④③④联立解得a1＝2，q＝3.等比数列前n项和性质的应用【例2】已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30.思路点拨：法一：设公比为q→根据条件列方程组→解出q→代入求S30法二：根据题意S10，S20－S10，S30－S20成等比数列→S10＝10，S20＝30→S30解：法一：设公比为q，则a11－q101－q＝10a11－q201－q＝30①②②①得1＋q10＝3，∴q10＝2，∴S30＝a11－q301－q＝a11－q101－q(1＋q10＋q20)＝10×(1＋2＋4)＝70.法二：∵S10，S20－S10，S30－S20仍成等比数列，又S10＝10，S20＝30，∴S30－S20＝S30－30＝30－10210，即S30＝70.等比数列前n项和的常用性质(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.①若共有2n项，则S偶S奇＝q；②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝a1＋a2n＋21＋q(q≠1且q≠－1)．(2)“片断和”性质：等比数列{an}中，公比为q，前m项和为Sm(Sm≠0)，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成公比为qm的等比数列，即等比数列的前m项的和与以后依次m项的和构成等比数列．变式训练21：等比数列{an}中，若S2＝7，S6＝91，求S4.解：法一：∵S2＝7，S6＝91，易知q≠1，由S2＝7S6＝91知a11＋q＝7，a11－q61－q＝91，∴a11＋q1－q1＋q2＋q41－q＝91，∴q4＋q2－12＝0，∴q2＝3，∴S4＝a11－q41－q＝a1(1＋q)(1＋q2)＝7×(1＋3)＝28.∴S4＝28.法二：∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7,91－S4成等比数列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)．解得S4＝28或－21.∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)＞S2，∴S4＝28.错位相减求和问题【例3】求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1的前n项和．思路点拨：分析通项公式的结构特征，一个因式2n－1，另一个因式an－1，联想推导等比数列前n项公式的方法，即错位相减法求和．解：当a＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n－1)则Sn＝n[1＋2n－1]2＝n2，当a≠1时，有Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1①aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an②①－②得：Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1)＝1－(2n－1)an＋2·a1－an－11－a＝1－(2n－1)an＋2a－an1－a又1－a≠0，∴Sn＝1－2n－1an1－a＋2a－an1－a2.当a＝1时，Sn＝n2当a≠1时，Sn＝1－2n－1an1－a＋2a－an1－a2(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用这一思路和方法．要善于识别题目类型，特别是当等比数列部分中公比是负数的情形更值得注意．(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”．以便于下一步准备写出“Sn－qSn”的表达式．(3)应用等比数列求和公式必须注意公比q≠1这一前提条件，如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查．变式训练31：求1＋2x2＋3x4＋…＋10x18的和．解：当x＝±1时，数列变为1,2,3,4，…，10，所以S10＝101＋102＝55，当x≠±1时，S10＝1＋2x2＋3x4＋…＋10x18，①x2S10＝x2＋2x4＋3x6＋…＋9x18＋10x20，②(1－x2)S10＝1＋x2＋x4＋…＋x18－10x20＝1－10x20＋(x2＋x4＋…＋x18)＝1－10x20＋x21－x181－x2又x2≠±1，∴S10＝1－10x201－x2＋x2－x201－x22.综上可得，当x≠±1时，S10＝1－10x201－x2＋x2－x201－x22，当x＝±1时，S10＝55.等比数列前n项和的实际应用【例4】某同学若将每月省下的零花钱5元在月末存入银行，月利按复利计算，月利为0.2%，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算，年利为6%，问三年取出本利共多少元(结果保留到个位)?思路点拨：解答本题可先建立数学模型用数列知识求解后再回归实际问题．解：为了便于思考一年内每月的存款的本金和利息的和按月分开算．第一年内的本息和可分为：第一个月：5(1＋0.2%)11，第二个月：5(1＋0.2%)10，…，第十二个月：5.那么，第一年的本息和为5(1＋0.2%)11＋5(1＋0.2%)10＋…＋5＝5×1.00212－10.002.于是三年后取出时第一年所存钱的本息和为5×1.00212－10.002(1＋6%)2.同理第二年所存钱在最后取时本息和为5×1.00212－10.002×(1＋6%)．第三年所存钱在年底取出时的本息和为5×1.00212－10.002.∵每月存5元，月利为0.2%，年利为6%，∴三年后取出的本息和为5×1.00212－10.002(1＋6%)2＋5×1.00212－10.002(1＋6%)＋5×1.00212－10.002＝5×1.00212－10.002×1.063－11.06－1≈193(元)．∴三年后取出的本利共193元．(1)“零存整取”的计算“零存整取”是单利计算，属于等差数列求和问题．其本利和为S＝P(1＋nr)，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和，简称本利和．(2)“定期自动转存”的计算“定期自动转存”是复利计算，属于等比数列求通项问题，到期后的本利和为S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．注意复利计算是求等比数列的第n项，而不是求和．(3)应用数列知识解决实际问题的步骤①根据实际问题提取数据；②建立数据关系，对提取的数据进行分析、归纳，建立数列的通项公式或递推关系；③检验关系是否符合实际，符合实际可以使用，不符合要修改关系；④利用合理的结论对实际问题展开讨论．变式训练41：从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n年内(本年度为第1年)总投入Sn万元，旅游业总收入为Tn万元，写出Sn、Tn的表达式；(2)第几年旅游业的总收入才能首次超过总投入？解：(1)第1年投入800万元，第2年投入800×(1－15)万元，…，第n年投入800×(1－15)n－1万元．所以，n年内的总投入Sn＝800＋800×(1－15)＋…＋800×(1－15)n－1＝4000×[1－(45)n]．第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1＋14)万元，…，第n年旅游业收入为400×(1＋14)n－1万元．所以，n年内的总收入Tn＝400＋400×(1＋14)＋…＋400×(1＋14)n－1＝1600×[(54)n－1]．(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，因此Tn－Sn＞0，即1600×[(54)n－1]－4000×[1－(45)n]＞0，化简得5×(45)n＋2×(54)n－7＞0，即(45)n＜25，(45)n7(舍去)．因为n∈N*，所以n≥5，可得n＝5.所以，第5年旅游业的总收入才能首次超过总投入．