函数的最大值最小值

1.3.1.2函数的最大值、最小值观察下列函数的图象，找出函数图象上的最高点或者最低点的坐标。最低点的坐标是（0，0）最高点的坐标是（0，0）如何使用函数的解析式和数学语言刻画函数图象的最低点和最高点？即如何用“数”刻画“形”？最小值的“形”的定义：当一个函数f(x)的图象有最低点时，我们就说这个函数有最小值。当函数图象没有最低点时我们说这个函数没有最小值。函数图象最低点的数的刻画：函数图象在最低点处的函数值是函数在整个定义域上最小的值。对于函数而言，即对于函数定义域中任意的，都有.()(0)fxfRx2()fxx函数图象最高点的数的刻画：函数图象在最高点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值。对应函数而言，即对于任意的，都有2()fxxRx()(0)fxf函数最大值的“形”的定义：当函数图象有最高点，我们就说这个函数有最大值。当函数图象无最高点时，我们说这个函数没有最大值。探究点1函数最大（小）值的数的定义函数最大值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对任意的，都有；（2）存在，使得。那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值。xI()fxM0xI0()fxM请同学们仿此给出函数最小值的定义函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：（1）对任意是，都有；（2）存在，使得。那么，我们就称N是函数y=f(x)的最小值。xI()fxN0xI0()fxN探究点2对函数最值的理解1.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在使得。并不是满足所有满足的函数都有最大值。如函数,虽然对定义域上的任意自变量都有，但不存在自变量使得函数值等于1.0,xI0fxM()fxM(),(1,1)fxxx()1fx2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函数值是函数在整个定义域上的最大的值或者是最小的值。探究点3例题解析例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是期望它在达到最高点爆裂。如果烟花离地面的高度hm与时间ts之间的关系为，那么烟花冲出后什么时刻爆裂是最佳时刻？这时离地面的高度是多少（精确到1m）？2()4.914.718httt分析：烟花的高度是时间的二次函数，根据题意就是求出这个二次函数在什么时刻达到最大值，以及这个最大值是多少。显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，顶点的纵坐标就是距地面的高度。解：画出这个函数2()4.914.718httt根据二次函数的知识，对于函数我们有：2()4.914.718httt214.71.52(4.9)4(4.9)1814.729.4(4.9)th当时，函数有最大值于是，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此时距底面的高度约为29m.例4.已知函数，求这个函数的最大值和最小值。2()([2,6])1fxxx【分析】这个函数在区间[2,6]上，显然解析式的分母是正值且随着自变量的增大而增大，因此函数值随着自变量的增大而减少，也就是说这个函数在区间[2，6]上是减函数，因此这个函数在定义的两个端点上取得最值。【解题过程分析】函数在定义域上是减函数必需进行证明，然后再根据这个单调性确定函数取得最值的点。因此解题过程分为两个部分，证明函数在[2，6]上是减函数，求这个函数的最大值和最小值。解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1x212122121121222()()112[(1)(1)]2().(1)(1)(1)(1)fxfxxxxxxxxxxx则12211226,0,(1(1)0,xxxxxx由得）1212()()0,()().fxfxfxfx于是即所以，函数是区间[2,6]上的减函数。2()([2,6])1fxxx因此，函数的最大值是f(2)=2，最小值是f(6)=0.4.1.求函数在区间[-1,3]的最大值和最小值。()3fxx【提示】证明函数在区间[-1,3]上是增函数。【答案】最大值是9，最小值是-3.2.求函数在区间[-1,3]上的最大值和最小值。2()fxx【提示】根据二次函数的性质，函数在区间[-1,0]上是减函数，在区间(0,3]上是增函数，最小值一定在x=0时取得，最大值就是区间的两个端点的函数值中最大的。【答案】最大值9，最小值0.对基本的函数如一次函数、二次函数、反比例函数等，今后可以不加证明地使用他们的单调性求函数最值3.求函数在区间[0,2]上的最大值和最小值。()2fxkx【提示】当k=0时，函数是常数函数；当k≠0时函数是一次函数，再根据k0,k0时函数的单调性进行解答。【答案】k=0时，函数的最大值和最小值都是2；k0时，函数的最小值是2，最大值是2k+2;k0时，函数的最小值是2k+2,最大值是2.4.求函数在区间[0,4]上的最小值。2()2fxxax【提示】二次函数的对称轴x=a是函数单调区间的分界点。根据二次函数的对称轴和区间[0,4]的关系，分a0,0，a4,结合函数的单调性解决。画出不同情况下函数的图象，有利于理清解题的思路。4a【答案】2min0,(0),(),(04),168,(4).afxaaaa5.周长为12的矩形的面积的最大值是多少？【提示】以x表示矩形的一边长，根据周长也可以用x表示矩形的另外一边长，这样就建立起了矩形的面积关于x的函数。【答案】设矩形的一边长为x,另外一边长为6-x，矩形的面积y=x(6-x)=,当x=3时矩形的面积最大，最大值是9.26xx1.函数的最值是函数的基本性质之一，函数的最值是函数在其定义域上的整体性质。2.具有单调性的函数在其取得最值的点的左右附近的单调性恰好相反，这是函数的单调性和最值的关系。3.根据函数的单调性确定函数最值时，如果是一般的函数要证明这个函数的单调性，若是基本的函数可以直接使用函数的单调性。4.含有字母系数的函数，在求其最值时要注意分情况解决，画出函数的图象有利于问题的解决。