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成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修5不等式第三章章末归纳总结第三章课时作业3知识结构1专题突破2知识结构专题突破专题一不等关系与不等式的性质已知a,b为正实数,试比较ab+ba与a+b的大小.[分析]利用作商法或作差法进行比较.[解析]方法一:(ab+ba)-(a+b)=(ab-b)+(ba-a)=a-bb+b-aa=a-ba-bab=a+ba-b2ab∵a、b为正实数,∴a+b0,ab0,(a-b)2≥0,∴a+ba-b2ab≥0,当且仅当a=b时,等号成立,∴ab+ba≥a+b.方法二:ab+baa+b=b3+a3aba+b=a+ba+b-ababa+b=a+b-abab=a-b2+abab=1+a-b2ab≥1.当且仅当a=b时,等号成立.又∵ab+ba0,a+b0,∴ab+ba≥a+b.[方法规律总结]作差法是比较两式大小最常用的方法,作商法是必要的补充,无论是作差还是作商,都要进行合理地变形,以利于比较.专题二一元二次不等式的应用已知函数y=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1]的定义域是R,求实数a的取值范围.[分析]本题考查一元二次不等式与二次函数的关系,以及对数函数的性质.解题的关键是由题意得出(a2-1)x2+(a+1)x+10的解集是R,从而转化为解决一元二次不等式问题.[解析]由对数函数定义及题设条件,知(a2-1)x2+(a+1)x+10的解集是R.当a2-1=0时,a=±1.若a=1,则不等式(a2-1)x2+(a+1)x+10可化简为2x+10,解得x-12,与已知矛盾.若a=-1,则不等式(a2-1)x2+(a+1)x+10可化简为10,此式恒成立,符合题意.当a2-1≠0时,根据题意,有a2-10,Δ=a+12-4a2-10,即a2-10,3a2-2a-50,解得a1,或a-1,a53,或a-1,即a-1,或a53.综上,a的取值范围是(-∞,-1]∪(53,+∞).[方法规律总结]对有关复合函数的问题,我们往往采用“化复合函数为基本函数”的办法,使之一步步转化为我们熟知的题型.此题就是把一个复合函数求范围的问题转化为不等式恒成立的问题.专题三简单的线性规划问题(2015·湖北文,12)若变量x,y满足约束条件x+y≤4,x-y≤2,3x-y≥0,则3x+y的最大值是________.[答案]10[解析]首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示,然后根据图象可得:目标函数z=3x+y过点B(3,1)时z取得最大值,即zmax=3×3+1=10,故应填10.[方法规律总结]求目标函数的最值一般采用图解法:①求二元一次函数z=ax+by(ab≠0)的最值,将函数z=ax+by转化为直线的斜截式:y=-abx+zb,通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值.一般地,当b0时,截距zb取最大值时,z取最大值;截距zb取最小值时,z也取最小值;当b0时,截距zb取最大值时,z取最小值;截距zb取最小值时,z取最大值.②目标函数z=ax+by+c的最值的求解,可先求ax+by的最值,再求z=ax+by+c的最值.专题四基本不等式已知x,y都是正实数,且x+y-3xy+5=0,求xy的最小值.[分析]合理变形,但应注意等号成立的条件.[解析]由x+y-3xy+5=0得x+y+5=3xy,∴2xy+5≤x+y+5=3xy,∴3xy-2xy-5≥0,∴(xy+1)(3xy-5)≥0,∴xy≥53,即xy≥259,等号成立的条件是x=y=53,故xy的最小值是259.专题五不等式与函数、方程的问题设a∈R,关于x的一元二次方程7x2-(a+13)x+a2-a-2=0有两个实根x1、x2,且0x11x22,求a的取值范围.[分析]令f(x)=7x2-(a+13)x+a2-a-2,它的图象是开口向上的抛物线,它在(0,1)和(1,2)区间内与x轴相交,则有f(0)0,f(1)0,f(2)0,所以只需解关于a的不等式组f00f10f20,即可求得a的取值范围.[解析]设f(x)=7x2-(a+13)x+a2-a-2,图象如图.∵x1、x2是方程f(x)=0的两个实根,且0x11,1x22.∴f00f10f20⇒a2-a-207-a+13+a2-a-2028-2a+13+a2-a-20⇒a2-a-20a2-2a-80a2-3a0⇒a-1,或a2-2a4a0,或a3⇒-2a-1,或3a4.∴a的取值范围是{a|-2a-1,或3a4}.[方法规律总结]设一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)对应的二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a0).结合图象可得:(1)方程f(x)=0在区间(-∞,k)内有两个不等的实根,则有Δ0-b2akfk0(其中k为常数,Δ=b2-4ac,以下同).(2)方程f(x)=0在区间(k,+∞)内有两个不等的实根,则有Δ0-b2akfk0.(3)方程f(x)=0有一根大于k,另一根小于k,则有f(k)0.(4)方程f(x)=0在区间(k1,k2)内有且只有一根(不包括重根),则有f(k1)·f(k2)0(k1、k2为常数,以下同).(5)方程f(x)=0在区间(k1,k2)内有两个不等的实根,则有Δ0k1-b2ak2fk10,且fk20.(6)方程f(x)=0在区间(k1,k2)外有两个不等的实根,则有Δ0fk10fk20.专题六等价转化思想已知f(x)=x2+2x+2a-a2,若对任意x∈[1,+∞),f(x)0恒成立,求实数a的取值范围.[解析]设g(x)=x2+2x.∵f(x)0,∴x2+2xa2-2a.要使f(x)0在[1,+∞)上恒成立,只需要g(x)=x2+2x在[1,+∞)上的最小值大于a2-2a即可.∵g(x)=x2+2x在[1,+∞)上是单调递增的,∴g(x)min=g(1)=3.∴a2-2a3,解此一元二次不等式可得-1a3.∴实数a的取值范围是-1a3.[方法规律总结]等价转化思想解不等式问题的步骤:(1)观察原式的特点,根据已知和待求,确定转化方向;(2)解转化后的不等式,一般是解一元二次不等式(组);(3)给出结论.专题七分类讨论思想解关于x的不等式x-ax-a20(a∈R).[分析]将原不等式化转化为(x-a)(x-a2)0,然后研究对应方程(x-a)(x-a2)=0的两个根x1=a,x2=a2的大小,以此为标准分类求解.[解析]原不等式等价于(x-a)(x-a2)0.①若a=0,则a=a2=0,x20,解集为∅;②若a=1,则a=a2=1,不等式为(x-1)20,解集为∅;③若0a1,则a2a.所以a2xa,故原不等式的解集为(a2,a);④若a0,或a1,则a2a.所以axa2,故原不等式的解集为(a,a2).综上,当a=0,或a=1时,原不等式的解集为∅;当0a1时,原不等式解集为(a2,a);当a0,或a1时,原不等式的解集为(a,a2).[方法规律总结]解含参数不等式需分类的情况:(1)二次项系数为字母且没有给出具体范围时,要分大于0、等于0、小于0三类讨论.(2)利用单调性解题时,抓住使单调性变化的参数值,进行讨论.(3)对应方程的根无法判断大小时,要分类讨论.(4)若判别式含参数,则在确定解的情况时需分Δ0、Δ=0、Δ0三种情况进行讨论.
本文标题:2015-2016学年高中数学 第三章 不等式章末归纳总结课件 新人教A版必修5
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