2015-2016学年高中数学 第三章 不等式章末归纳总结课件 新人教A版必修5

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修5不等式第三章章末归纳总结第三章课时作业3知识结构1专题突破2知识结构专题突破专题一不等关系与不等式的性质已知a，b为正实数，试比较ab＋ba与a＋b的大小．[分析]利用作商法或作差法进行比较．[解析]方法一：(ab＋ba)－(a＋b)＝(ab－b)＋(ba－a)＝a－bb＋b－aa＝a－ba－bab＝a＋ba－b2ab∵a、b为正实数，∴a＋b0，ab0，(a－b)2≥0，∴a＋ba－b2ab≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，∴ab＋ba≥a＋b.方法二：ab＋baa＋b＝b3＋a3aba＋b＝a＋ba＋b－ababa＋b＝a＋b－abab＝a－b2＋abab＝1＋a－b2ab≥1.当且仅当a＝b时，等号成立．又∵ab＋ba0，a＋b0，∴ab＋ba≥a＋b.[方法规律总结]作差法是比较两式大小最常用的方法，作商法是必要的补充，无论是作差还是作商，都要进行合理地变形，以利于比较．专题二一元二次不等式的应用已知函数y＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]的定义域是R，求实数a的取值范围．[分析]本题考查一元二次不等式与二次函数的关系，以及对数函数的性质．解题的关键是由题意得出(a2－1)x2＋(a＋1)x＋10的解集是R，从而转化为解决一元二次不等式问题．[解析]由对数函数定义及题设条件，知(a2－1)x2＋(a＋1)x＋10的解集是R.当a2－1＝0时，a＝±1.若a＝1，则不等式(a2－1)x2＋(a＋1)x＋10可化简为2x＋10，解得x－12，与已知矛盾．若a＝－1，则不等式(a2－1)x2＋(a＋1)x＋10可化简为10，此式恒成立，符合题意．当a2－1≠0时，根据题意，有a2－10，Δ＝a＋12－4a2－10，即a2－10，3a2－2a－50，解得a1，或a－1，a53，或a－1，即a－1，或a53.综上，a的取值范围是(－∞，－1]∪(53，＋∞)．[方法规律总结]对有关复合函数的问题，我们往往采用“化复合函数为基本函数”的办法，使之一步步转化为我们熟知的题型．此题就是把一个复合函数求范围的问题转化为不等式恒成立的问题．专题三简单的线性规划问题(2015·湖北文，12)若变量x，y满足约束条件x＋y≤4，x－y≤2，3x－y≥0，则3x＋y的最大值是________．[答案]10[解析]首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图象可得：目标函数z＝3x＋y过点B(3,1)时z取得最大值，即zmax＝3×3＋1＝10，故应填10.[方法规律总结]求目标函数的最值一般采用图解法：①求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．一般地，当b0时，截距zb取最大值时，z取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值；当b0时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距zb取最小值时，z取最大值.②目标函数z＝ax＋by＋c的最值的求解，可先求ax＋by的最值，再求z＝ax＋by＋c的最值．专题四基本不等式已知x，y都是正实数，且x＋y－3xy＋5＝0，求xy的最小值．[分析]合理变形，但应注意等号成立的条件．[解析]由x＋y－3xy＋5＝0得x＋y＋5＝3xy，∴2xy＋5≤x＋y＋5＝3xy，∴3xy－2xy－5≥0，∴(xy＋1)(3xy－5)≥0，∴xy≥53，即xy≥259，等号成立的条件是x＝y＝53，故xy的最小值是259.专题五不等式与函数、方程的问题设a∈R，关于x的一元二次方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0有两个实根x1、x2，且0x11x22，求a的取值范围．[分析]令f(x)＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2，它的图象是开口向上的抛物线，它在(0,1)和(1,2)区间内与x轴相交，则有f(0)0，f(1)0，f(2)0，所以只需解关于a的不等式组f00f10f20，即可求得a的取值范围．[解析]设f(x)＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2，图象如图．∵x1、x2是方程f(x)＝0的两个实根，且0x11,1x22.∴f00f10f20⇒a2－a－207－a＋13＋a2－a－2028－2a＋13＋a2－a－20⇒a2－a－20a2－2a－80a2－3a0⇒a－1，或a2－2a4a0，或a3⇒－2a－1，或3a4.∴a的取值范围是{a|－2a－1，或3a4}．[方法规律总结]设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)对应的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)．结合图象可得：(1)方程f(x)＝0在区间(－∞，k)内有两个不等的实根，则有Δ0－b2akfk0(其中k为常数，Δ＝b2－4ac，以下同)．(2)方程f(x)＝0在区间(k，＋∞)内有两个不等的实根，则有Δ0－b2akfk0.(3)方程f(x)＝0有一根大于k，另一根小于k，则有f(k)0.(4)方程f(x)＝0在区间(k1，k2)内有且只有一根(不包括重根)，则有f(k1)·f(k2)0(k1、k2为常数，以下同)．(5)方程f(x)＝0在区间(k1，k2)内有两个不等的实根，则有Δ0k1－b2ak2fk10，且fk20.(6)方程f(x)＝0在区间(k1，k2)外有两个不等的实根，则有Δ0fk10fk20.专题六等价转化思想已知f(x)＝x2＋2x＋2a－a2，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围．[解析]设g(x)＝x2＋2x.∵f(x)0，∴x2＋2xa2－2a.要使f(x)0在[1，＋∞)上恒成立，只需要g(x)＝x2＋2x在[1，＋∞)上的最小值大于a2－2a即可．∵g(x)＝x2＋2x在[1，＋∞)上是单调递增的，∴g(x)min＝g(1)＝3.∴a2－2a3，解此一元二次不等式可得－1a3.∴实数a的取值范围是－1a3.[方法规律总结]等价转化思想解不等式问题的步骤：(1)观察原式的特点，根据已知和待求，确定转化方向；(2)解转化后的不等式，一般是解一元二次不等式(组)；(3)给出结论．专题七分类讨论思想解关于x的不等式x－ax－a20(a∈R)．[分析]将原不等式化转化为(x－a)(x－a2)0，然后研究对应方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根x1＝a，x2＝a2的大小，以此为标准分类求解．[解析]原不等式等价于(x－a)(x－a2)0.①若a＝0，则a＝a2＝0，x20，解集为∅；②若a＝1，则a＝a2＝1，不等式为(x－1)20，解集为∅；③若0a1，则a2a.所以a2xa，故原不等式的解集为(a2，a)；④若a0，或a1，则a2a.所以axa2，故原不等式的解集为(a，a2)．综上，当a＝0，或a＝1时，原不等式的解集为∅；当0a1时，原不等式解集为(a2，a)；当a0，或a1时，原不等式的解集为(a，a2)．[方法规律总结]解含参数不等式需分类的情况：(1)二次项系数为字母且没有给出具体范围时，要分大于0、等于0、小于0三类讨论．(2)利用单调性解题时，抓住使单调性变化的参数值，进行讨论．(3)对应方程的根无法判断大小时，要分类讨论．(4)若判别式含参数，则在确定解的情况时需分Δ0、Δ＝0、Δ0三种情况进行讨论．