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中考热点:三种构造辅助圆解题的模型一、问题导读“圆”是一个完美的图形,在初中数学中具有丰富内容,其中大部分是与角度相关性质,如在圆周角中能轻易找到,等角和直角并与圆心角联系也比较紧密,通过在图形中构造辅助圆往往能获得意想不到的效果,如果题目中出现了以下条件:三点及三点以上到同一点距离相等,作辅助圆;同一侧有相等的角,或者需要构造出相等的角时,作辅助圆;若一个四边形的一组对角互补,则它的四个顶点共圆.在这些情况下,借助圆去解决一些问题都是非常好的一个选择,下面举例说明这三种构造辅助圆解题的模型应用。二、典例精析类型1根据共端点等线段模型,根据圆的定义构造圆1.如图,已知OA=OB=OC,且∠AOB=k∠BOC,则∠ACB是∠BAC的()A.k/2倍B.k倍C.2kD.1/k【分析】由OA=OB=OC,得到A,B,C在以O为圆心的同一个圆上,则∠AOB=2∠ACB,∠BOC=2∠BAC,而∠AOB=k∠BOC,即可得到∠ACB=k∠BAC.【解答】∵OA=OB=OC,∴A,B,C在以O为圆心的同一个圆上,如图,∴∠AOB=2∠ACB,∠BOC=2∠BAC,而∠AOB=k∠BOC,即2∠ACB=k2∠BAC,∴∠ACB=k∠BAC.故选:B.2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是()A.1.5B.1.2C.2.4D.以上都不对【分析】先依据勾股定理求得AB的长,然后依据翻折的性质可知PF=FC,故此点P在以F为圆心,以2为半径的圆上,依据垂线段最短可知当FP⊥AB时,点P到AB的距离最短,然后依据题意画出图形,最后,利用相似三角形的性质求解即可.【解答】如图所示:当PE∥AB.在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AC=6,BC=8,∴由勾股定理可求得AB=10,由翻折的性质可知:PF=FC=2,∠FPE=∠C=90°.∵PE∥AB,∴∠PDB=90°.由垂线段最短可知此时FD有最小值.又∵FP为定值,∴PD有最小值.又∵∠A=∠A,∠ACB=∠ADF,∴△AFD∽△ABC.∴AF/AB=DF/BC,即4/10=DF/8,解得:DF=3.2.∴PD=DF﹣FP=3.2﹣2=1.2.故选:B.3.如图2所示,在凸四边形ABCD中,AB=BC=BD,∠ABC=80°,则∠ADC的度数为____度【解析】∵AB=BC=BD,得到A,C,D在以B为圆心的同一个圆上,∴∠ACD=1/2∠ABD,∠DAC=1/2∠DBC,∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=80°,∴∠ACD+∠DAC=1/2∠ABD+1/2∠DBC=1/2(∠ABD+∠DBC)=1/2×80°=40°,∴∠ADC=180°﹣(∠DAC+∠ACD)=180°﹣40°=140°.故答案为:140.4.如图,在四边形ABCD中,AB=AC=AD,若∠BAC=25°,∠CAD=75°,则∠BDC=度,∠DBC=_____度.【解析】法一:∵AB=AC=AD,∴点B,C,D在以A为圆心的圆上,∵∠BAC=25°,∴∠BDC=1/2∠BAC=12.5°,∵∠CAD=75°,∴∠DBC=1/2∠CAD=37.5°.故答案为:12.5,37.5.法二:∵AB=AC=AD,∴∠ADB=∠ABD,∠ACB=∠ABC,∠ADC=∠ACD,∵∠BAC=25°,∠CAD=75°,∴∠ACB=(180°﹣25°)÷2=77.5°,∠DAB=∠DAC+∠CAB=100°,∠ADC=∠ACD=(180°﹣75°)÷2=52.5°,∴∠ADB=(180°﹣100°)÷2=40°,∴∠BDC=∠ADC﹣∠ADB=52.5°﹣40°=12.5°,∠DCB=∠DCA+∠ACB=52.5°+77.5°=130°,∴∠DBC=180°﹣∠DCB﹣∠BDC=180°﹣130°﹣12.5°=37.5°.∴∠BDC=12.5°,∠DBC=37.5°.类型2直角模型,依据直径所对的圆周角是直角,构造三角形的外接圆解题5.如图所示,矩形ABCG与矩形CDEF全等,点BCD在一条直线上,∠APE的顶点P在线段BD上移动,使得∠APE为直角的点P的个数是_____个.【分析】∵∠APE的顶点P在线段BD上移动,且∠APE为直角,∴点P也在以AE为直径的⊙O的圆上运动;∴以AE为直径作⊙O,⊙O与BD的交点即为所求.【解答】∵点BCD在一条直线上,∠APE的顶点P在线段BD上移动,∠APE为直角,∴点P在以AE为直径的⊙O的圆上运动,∴点P就是⊙O与BD的交点,由图示知,BD与⊙O有2个交点.故答案为:2.【点评】本题主要考查了圆周角定理:直径所对的圆周角是直角.解答该题时,采用了“数形结合”的数学思想.6.已知:如图,直尺的宽度为2,A、B两点在直尺的一条边上,AB=6,C、D两点在直尺的另一条边上.若∠ACB=∠ADB=90°,则C、D两点之间的距离为_____.【分析】由∠ACB=∠ADB=90°,根据90°的圆周角所对的弦是直径,可得A,B,C,D在以AB为直径的圆上,C,D即是此圆与直尺的交点,设E为AB中点,可得EC是半径为3,然后作EF⊥CD交CD于F,根据垂径定理可得:CD=2CF,然后由勾股定理求得CF的长,继而求得答案.【解答】设E为AB中点,∵∠ACB=∠ADB=90°,∴A,B,C,D在以AB为直径的圆上,连接DE,CE,则CE=DE=1/2AB=3,作EF⊥CD交CD于F,∴CD=2CF,∵AB∥CD,∴EF=2,在Rt△CFE和Rt△DFE中,CF=√5,∴CD=2√5.故答案为:2√5.【点评】此题考查了圆周角定理,垂径定理以及勾股定理等知识.此题拿度适中,解题的关键是由∠ACB=∠ADB=90°,根据90°的圆周角所对的弦是直径,得到A,B,C,D在以AB为直径的圆上.7.已知Rt△ABC中,AC=5,BC=12,∠ACB=90°,P是AB边上的动点(与点A、B不重合),Q是BC边上的动点(与点B、C不重合)(1)如图,当PQ∥AC,且Q为BC的中点时,求线段CP的长;(2)当PQ与AC不平行时,△CPQ可能为直角三角形吗?若有可能,请求出线段CQ的长的取值范围;若不可能,请说明理由.【分析】(1)根据平行线等分线段定理得到点P是斜边的中点,再直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,要求线段CP的长,只需根据勾股定理求得AB的长.(2)若PQ与AC不平行,则要使△CPQ成为直角三角形.只需保证∠CPQ=90°.根据直径所对的圆周角是直角,则分析以CQ为直径的圆和斜边AB的公共点的情况:一是半圆和AB相切;二是半圆和AB相交.首先求得相切时CQ的值,即可进一步求得相交时CQ的范围.【解答】(1)在Rt△ABC中∠ACB=90°,AC=5,BC=12,∴AB=13;∵Q是BC的中点,∴CQ=QB;又∵PQ∥AC,∴AP=PB,即P是AB的中点,∴Rt△ABC中,CP=13/2.(2)当AC与PQ不平行时,只有∠CPQ为直角,△CPQ才可能是直角三角形.以CQ为直径作半圆D,①当半圆D与AB相切时,设切点为M,连接DM,则DM⊥AB,且AC=AM=5,∴MB=AB﹣AM=13﹣5=8;设CD=x,则DM=x,DB=12﹣x;在Rt△DMB中,DB=DM+MB,即(12﹣x)=x+8,解之得x=10/3,∴CQ=2x=20/3;即当CQ=20/3且点P运动到切点M位置时,△CPQ为直角三角形.②当20/3<CQ<12时,半圆D与直线AB有两个交点,当点P运动到这两个交点的位置时,△CPQ为直角三角形③当0<CQ<20/3时,半圆D与直线AB相离,即点P在AB边上运动时,均在半圆D外,∠CPQ<90°,此时△CPQ不可能为直角三角形.∴当20/3≤CQ<12时,△CPQ可能为直角三角形.8.已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0),B(4,0),抛物线y=ax+bx-2过点A,B,顶点为C,点P(m,n)为抛物线上一点,其中n0.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围.【分析】(1)利用待定系数法求出解析式,再利用x=0得出y的值即可得出C点坐标.(2)因为AB为直径,所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时,满足∠APB为钝角,进而得出m的取值范围;]解:(1)(1)∵抛物线y=ax+bx﹣2(a≠0)过点A,B,∴a-b-2=0,16a+4b-2=0,解得:a=1/2,b=-3/2,∴抛物线的解析式为:y=1/2x﹣3/2x﹣2,当x=0时,y=﹣2,∴C(0,﹣2);(2)∵A(-1,0),B(4,0),抛物线与y轴的交点D的坐标为(0,-2),如图,抛物线的对称轴与x轴的交点为M(3/2,0),∵AD=1+2=5,AB=(4+1)=25,BD=4+2=16+4=20,则AD+BD=AB,由勾股定理的逆定理,知△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,以M为圆心,以MA为半径作圆,则☉M经过点D,则☉M内抛物线上的所有的点都可以是P点,且使∠APB为钝角,根据抛物线及圆的对称性,☉M与抛物线的另一个交点坐标为(3,-2),则满足条件的m的取值范围为:-1m0或3m4.类型3四点共圆模型(1)若一个四边形的一组对角互补,则它的四个顶点共圆;(2)动点对定线段所张的角为定值.9.如图2,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,m),点B的坐标为(0,n),其中m>n>0.点P为x轴正半轴上的一个动点,当∠APB达到最大时,直接写出此时点P的坐标________.【解析】当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时,对应的∠APB最大,根据垂径定理和勾股定理即可求解.当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时,作CD⊥y轴,连接CP、CB.∵A的坐标为(0,m),点B的坐标为(0,n),10.在平面直角坐标系中,已知点A(4,0)、B(﹣6,0),点C是y轴上的一个动点,当∠BCA=45°时,点C的坐标为_____.【分析】如解答图所示,构造含有90°圆心角的⊙P,则⊙P与y轴的交点即为所求的点C.注意点C有两个.【解答】设线段BA的中点为E,∵点A(4,0)、B(﹣6,0),∴AB=10,E(﹣1,0).(1)如答图1所示,过点E在第二象限作EP⊥BA,且EP=1/2AB=5,则易知△PBA为等腰直角三角形,∠BPA=90°,PA=PB=5√2;以点P为圆心,PA(或PB)长为半径作⊙P,与y轴的正半轴交于点C,∵∠BCA为⊙P的圆周角,∴∠BCA=1/2∠BPA=45°,即则点C即为所求.过点P作PF⊥y轴于点F,则OF=PE=5,PF=1,在Rt△PFC中,PF=1,PC=5√2,由勾股定理得:CF=7,∴OC=OF+CF=5+7=12,∴点C坐标为(0,12);(2)如答图2所示,在第3象限可以参照(1)作同样操作,同理求得y轴负半轴上的点C坐标为(0,﹣12).综上所述,点C坐标为(0,12)或(0,﹣12).故答案为:(0,12)或(0,﹣12).【点评】本题难度较大.由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口,也是本题的难点所在.11.已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是边AB上一中点,将△CAD绕C逆时针向旋α得到△CEF,其点E是点A的对应点,点F是点D的对应点.DF与AE交于点M;当α从90°变化到180°时,点M运动的路径长为______.【分析】先证明A、D、M、C四点共圆,得到∠CMF=∠CAD=45°,即可推出点M在以AC为直径的⊙O上,运动路径是弧CD,利用弧长公式即可解决问题.【解答】∵CA=CE,CD=CF,∴∠CAE=∠CEA,∠CDF=∠CFD∵∠ACD=∠ECF,∴∠ACE=∠DCF,∵2∠CAE+∠ACE=180°,2∠CDF+∠DCF=180°,∴∠CAE=∠CDF,∴A、D、M、C四点共圆,∴∠CMF=∠CAD=45°,∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°.(补充
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