4.2-最大值、最小值问题-课件-(北师大选修1-1)

No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引2.2最大值、最小值问题No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引1.理解函数最值的概念．2.掌握利用导数求函数最值的方法．3.掌握利用导数求最值的步骤.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引1.求函数在[a，b]上的最值．(重点)2.函数的极值与最值的区别与联系．(易混点)3.利用函数的单调性，图象等综合考查．(难点)No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引1．函数极值的判定解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极小值．2．函数y＝x2＋4x＋4在[－3,4]上的最大值为，最小值为.f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)＜0f′(x)＞0360No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得和并且函数的最值必在或取得．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上最值的步骤(1)求函数y＝f(x)的；(2)将函数y＝f(x)的与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．最大值最小值极值端点处极值各极值端点值No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引1．函数f(x)＝x3－3x＋1的闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是()A．－1、－1B．1、－17C．3、－17D．9、－19解析：f(x)＝3x2－3，令f(x)＝3x2－3＝0，∴x2＝1，∴x＝±1f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，∴最大值3.最小值－17.答案：CNo.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引2．函数f(x)＝x＋2cosx在0，π2上取得最大值时x为()A．0B.π6C.π3D.π2解析：f(x)＝1－2sinx，令f(x)＝1－2sinx＝0∴sinx＝12，∵x∈0，π2，∴x＝π6答案：BNo.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引3．函数f(x)＝lnx－x在(0，e]上的最大值为________．答案：－1解析：f(x)＝1x－1＝1－xx，令f′(x)＝1－xx＝0，∴x＝1当0x1时，f′(x)0当1xe时，f′(x)0∴f(x)max＝f(1)＝－1No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引4．已知函数f(x)＝2x3－12x.求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．解析：f(x)＝2x3－12x，f′(x)＝6x2－12＝6(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－)－(－，)(，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大极小No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．因为f(－1)＝10，f(3)＝18，f(2)＝－82，所以当x＝2时，f(x)取得最小值为－82；当x＝3时，f(x)取得最大值为18.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引求下列各函数的最值．(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；(2)f(x)＝sinx－x，x∈－π2，π2.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引求函数最值的步骤：No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引[解题过程](1)f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,2)2f′(x)＋0－0＋0－f(x)－60极大值4极小值3极大值4－5No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.(2)f′(x)＝cosx－1≤0，∴f(x)＝sinx－x在－π2，π2上是减函数．∴f(x)max＝f－π2＝π2－1，f(x)min＝fπ2＝1－π2.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引1.已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37.(1)求实数a的值；(2)求f(x)在[－2,2]上的最大值．解析：(1)∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.∵f(－2)＝a－40，f(0)＝a，f(2)＝a－8，比较知f(x)的最小值是f(－2)，由已知f(－2)＝a－40＝－37，∴a＝3.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引(2)由a＝3知f(0)＝3，f(2)＝－5∴f(0)＝3是f(x)在[－2,2]上的最大值．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引(2011·江西卷，20)设f(x)＝13x3＋mx2＋nx.(1)如果g(x)＝f′(x)－2x－3在x＝－2处取得最小值－5，求f(x)的解析式．(2)如果m＋n10(m，n∈N＋)，f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值．(注：区间(a，b)的长度为b－a)No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引解析：(1)由题意得g(x)＝x2＋2(m－1)x＋(n－3)＝(x＋m－1)2＋(n－3)－(m－1)2，已知g(x)在x＝－2处取得最小值－5，所以m－1＝2，n－3－m－12＝－5，解得m＝3，n＝2.故所要求的解析式为f(x)＝13x3＋3x2＋2x.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引(2)因为f′(x)＝x2＋2mx＋n，且f(x)的单调递减区间的长度为正整数，故f′(x)＝0一定有两个不同的根，从而Δ＝4m2－4n0，即m2n.不妨设这两个不同的根为x1，x2，则|x2－x1|＝2m2－n为正整数．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引故m≥2时才可能有符合条件的m，n.当m＝2时，只有n＝3符合要求．当m＝3时，只有n＝5符合要求．当m≥4时，没有符合要求的n.综上所述，只有m＝2，n＝3或m＝3，n＝5满足上述要求．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)＜2c恒成立，求c的取值范围．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引(1)由函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，知导函数有两根，利用韦达定理可求出a，b.(2)等价于求f(x)在[－2,6]上的最大值．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引[解题过程](1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，∵函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根，∴－1＋3＝23a，－1×3＝b3，∴a＝3，b＝－9.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，f′(x)＝3x2－6x－9，当x变化时，有下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值c＋5极小值c－27No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，∴x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54.要使f(x)＜2c恒成立，只要c＋54＜2c即可．∴c＞54.∴c的取值范围为(54，＋∞)．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引2.设f(x)＝x3－12x2－2x＋5.(1)求函数f(x)的单调递增、递减区间；(2)当x∈[－1,2]时，f(x)＜m恒成立，求实数m的取值范围．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引解析：(1)由已知得f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，即3x2－x－2＝0，解得x＝1或x＝－23，∴当x∈－∞，－23时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x∈－23，1时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，∴f(x)的递增区间为－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间为－23，1.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引(2)当x∈[－1,2]时，f(x)＜m恒成立，只需使f(x)在[－1,2]上的最大值小于m即可．由(1)知f(x)极大值＝f－23＝5＋2227，f(x)极小值＝f(1)＝72，又∵f(－1)＝112，f(2)＝7，∴f(x)在[－1,2]上的最大值为f(2)＝7，∴m＞7，即m的取值范围为(7，＋∞)．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元．距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题，就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题，其思路如下：No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引[解题过程](1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝mx－1.所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x)x＝256mx－1＋mx(2＋x)x＝256mx＋mx＋2m－256.No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引(2)由(1)知，f′(x)＝－256mx2＋12mx－12＝m2x2(x32－512)．令f′(x)＝0，得x32＝512，所以x＝64.当0＜x＜64时，No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引f′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64＜x＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值．此时n＝mx－1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y最小．No.1预习学案No.2课堂讲义No.3课后练习工具第四章导数应用栏目导引3.某工厂生产某种产品，已