导数的应用--函数的最大值与最小值

导数的应用--函数的最大值与最小值奎屯王新敞新疆(3)列表：f′(x)在方程f′(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值.口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。复习：求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)(2)求方程f′(x)=0的根观察下面函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象,回答:(1)在哪一点处函数y=f(x)有极大值和极小值?(2)函数y=f(x)在[a,b]上有最大值和最小值吗?如果有,最大值和最小值分别是什么?x1x2x3x4x5极大:x=x1x=x2x=x3x=x5极小:x=x4)(3maxxfy)(4minxfy观察下面函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象,回答:(1)在哪一点处函数y=f(x)有极大值和极小值?(2)函数y=f(x)在[a,b]上有最大值和最小值吗?如果有,最大值和最小值分别是什么?极大:x=x1x=x2x=x3极小:abxyx1Ox2x3)(xfyf(a)ymax)(1minxfy一.最值的概念(最大值与最小值)新课讲授如果在区间［a,b］内存在x0,使得对任意的x∈［a,b］,总有f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在［a,b］上的最大值.强调：函数的最大（小）值是相对于某区间上的连续函数而言的！对于某区间上的不连续函数，我们不谈最大（小）值的问题！所谓最值就是所有极值连同端点函数值进行比较，最大的为最大值，最小的为最小值。探究问题1：开区间上的最值问题oxyaby=f(x)y=f(x)oxyaboxyaby=f(x)oxyaby=f(x)结论在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值最值存在的条件baxoyy=f(x)oyxy=f(x)abx1x2x4x3探究问题2：闭区间上的最值问题结论如果在闭区间[a，b]上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值。思考：（1）如果连续函数f(x)在开区间（a,b）有最值，在什么位置取最值？答：在极值位置处。（2）如果连续函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，那么这个极值点是否是最值点？答：是。(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值2、设函数f(x)在[a,b]上连续，f(x)在(a,b)在内可导，求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最大值和最小值。例题讲解故函数f(x)在区间[1，5]内的极小值为3，最大值为11，最小值为2法二（利用导数）、f′(x)=2x-4令f′(x)=0，即2x–4=0，得x=2x1（1，2）2（2，5）5y，0y-+3112例1、求函数在区间上的最大值与最小值。31443yxx[0,3]求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；(2)将y=f(x)的各个极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值。例2已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值。•思考题已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a，b，使f(x)在[－1,2]上取最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由。答案：a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29。例3在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？xx6060xx由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm323()602xVxx602xh)600(x260)(322xxhxxV解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积23()602xVxx令＝0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V(40)=16000x60-2x60-2x60-2xx60-2x6060xxxV2)260()()300(x解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积例4圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？2VhRS=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，则2VR2VRS(R)=2πR+2πR2=+2πR222()VsRR令+4πR=032V解得，R=，从而2VR23()2VV34V3Vh====2即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：产量为84时，利润L最大。(0100)q1214Lqqp8125例5已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．211252588Rqpqqqq解：收入221125(1004)2110088LRCqqqqq利润0L12104q84q令，即，求得唯一的极值点课堂小结⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；⑵函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，是f(x)在闭区间[a,b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；⑶闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值；开区间（a,b）内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。(4)根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较。