专题10 三角函数图象与性质―三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(解析版)

1.【2017课标1，理9】已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+2π3)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】试题分析：因为12,CC函数名不同，所以先将2C利用诱导公式转化成与1C相同的函数名，则222:sin(2)cos(2)cos(2)3326Cyxxx，则由1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为sin2yx，再将曲线向左平移12个单位得到2C，故选D.【考点】三角函数图像变换.2.【2017课标3，理6】设函数f(x)=cos(x+3)，则下列结论错误的是A．f(x)的一个周期为−2πB．y=f(x)的图像关于直线x=83对称C．f(x+π)的一个零点为x=6D．f(x)在(2,π)单调递减【答案】D【解析】试题分析：函数的最小正周期为221T，则函数的周期为2TkkZ，取1k，可得函数fx的一个周期为2，选项A正确；函数的对称轴为3xkkZ，即：3xkkZ，取3k可得y=f(x)的图像关于直线x=83对称，选项B正确；coscos33fxxx，函数的零点满足32xkkZ，即6xkkZ，取0k可得f(x+π)的一个零点为x=6，选项C正确；当,2x时，54,363x，函数在该区间内不单调，选项D错误；故选D.【考点】函数cosyAx的性质【名师点睛】(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，则最小正周期为2T；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asinωx或y＝Acosωx＋b的形式.(2)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令2xkkZ，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可.3.【2017天津，理7】设函数()2sin()fxx，xR，其中0，||.若5()28f，()08f，且()fx的最小正周期大于2，则（A）23，12（B）23，12（C）13，24（D）13，24【答案】A【名师点睛】有关sin()yAx问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A，再根据周期或12周期或14周期求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.4.【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),24fxx+x，为()fx的零点,4x为()yfx图像的对称轴,且()fx在51836，单调,则的最大值为()（A）11（B）9（C）7（D）5【答案】B【解析】试题分析：因为4x为()fx的零点,4x为()fx图像的对称轴,所以()444TkT,即41412244kkT,所以41(*)kkN,又因为()fx在5,1836单调,所以5236181222T,即12,由此的最大值为9.故选B.考点：三角函数的性质5.【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3yx的图象，只需把函数sin2yx的图象上所有的点()（A）向左平行移动π3个单位长度（B）向右平行移动π3个单位长度（C）向左平行移动π6个单位长度（D）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】试题分析：由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36yxx，只需把函数sin2yx的图像上所有点向右移6个单位，故选D.考点：三角函数图像的平移.【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移，在函数()sin()fxAωxφ的图象平移变换中要注意人“ω”的影响，变换有两种顺序：一种ysinx的图象向左平移φ个单位得sin()yxφ，再把横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得sin()yωxφ的图象，另一种是把ysinx的图象横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得sinyωx的图象，向左平移φω个单位得sin()yωxφ的图象．6.【2015高考山东，理3】要得到函数sin43yx的图象，只需要将函数sin4yx的图象（）（A）向左平移12个单位（B）向右平移12个单位（C）向左平移3个单位（D）向右平移3个单位【答案】B【解析】因为sin4sin4312yxx，所以要得到函数sin43yx的图象，只需将函数sin4yx的图象向右平移12个单位.故选B.【考点定位】三角函数的图象变换.7.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6yxk，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5B．6C．8D．10【答案】C【解析】由图象知：min2y，因为min3yk，所以32k，解得：5k，所以这段时间水深的最大值是max3358yk，故选C．【考点定位】三角函数的图象与性质．【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“最大值”，否则很容易出现错误．解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法．本题从图象中可知sin16x时，y取得最小值，进而求出k的值，当sin16x时，y取得最大值．8.【2016高考新课标2理数】若将函数2sin2yx的图像向左平移12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）（A）()26kxkZ（B）()26kxkZ（C）()212kxkZ（D）()212kxkZ【答案】B【解析】【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．9.【2015高考新课标1，理8】函数()fx=cos()x的部分图像如图所示，则()fx的单调递减区间为()(A)13(,),44kkkZ(B)13(2,2),44kkkZ(C)13(,),44kkkZ(D)13(2,2),44kkkZ【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42，解得=，=4，所以()cos()4fxx，令22,4kxkkZ，解得124k＜x＜324k，kZ，故单调减区间为（124k，324k），kZ，故选D.【考点定位】三角函数图像与性质10.【2016高考浙江理数】设函数2()sinsinfxxbxc，则()fx的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关【答案】B【解析】试题分析：21cos2cos21()sinsinsinsin222xxfxxbxcbxcbxc，其中当0b时，cos21()22xfxc，此时周期是；当0b时，周期为2，而c不影响周期．故选B．考点：1、降幂公式；2、三角函数的最小正周期．【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数fx，再判断b和c的取值是否影响函数fx的最小正周期．11.【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3yx图象上的点(,)4Pt向左平移s（0s）个单位长度得到点'P，若'P位于函数sin2yx的图象上，则（）A.12t，s的最小值为6B.32t，s的最小值为6C.12t，s的最小值为3D.32t，s的最小值为3【答案】A【解析】试题分析：由题意得，1sin(2)432t，故此时'P所对应的点为1(,)122，此时向左平移-4126个单位，故选A.考点：三角函数图象平移12.【2016高考山东理数】函数f（x）=（3sinx+cosx）（3cosx–sinx）的最小正周期是（）（A）2π（B）π（C）23π（D）2π【答案】B【解析】试题分析：2sin2cos2sin2663fxxxx,故最小正周期22T,故选B.考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.13.【2015高考安徽，理10】已知函数sinfxx（，，均为正的常数）的最小正周期为，当23x时，函数fx取得最小值，则下列结论正确的是（）（A）220fff（B）022fff（C）202fff（D）202fff【答案】A【解析】由题意，sin(0,0,0)fxxA，22||T，所以2，则sin2fxx，而当23x时，2322,32kkZ，解得2,6kkZ，所以sin2(0)6fxxA，则当2262xk，即,6xkkZ时，()fx取得最大值.要比较2,2,0fff的大小，只需判断2,2,0与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值越小，易知0,2与6比较近，2与56比较近，所以，当0k时，6x，此时|0|0.526，|2|1.476，当1k时，56x，此时5|2()|0.66，所以(2)(2)(0)fff，故选A.【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.14.【2015湖南理2】将函数()sin2fxx的图像向右平移(0)2个单位后得到函数()gx的图像，若对满足12()()2fxgx的1x，2x，有12min3xx，则（）A.512B.3C.4D.6【答案】D.【解析】试题分析：向右平移个单位后，得到)22sin()(xxg，又∵2|)()(|21xgxf，∴不妨kx2221，mx22222，∴)(221mkxx，又∵12min3xx，∴632，故选D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以)sin()(xAxf为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.15.【2016高考江苏卷】定义