2.3.2直线与双曲线的位置关系

2.3.2双曲线的简单几何性质（2）直线与双曲线的位置关系高二数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法∆0∆=0∆0（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）复习:相离相切相交1)位置关系种类XYO种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点)2)位置关系与交点个数XYOXYO相离:0个交点相交:一个交点相交:两个交点相切:一个交点3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的渐进线平行相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离消去，得2222y=kx+my:xy-=1ab(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=01.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。重合：无交点；平行：有一个交点。2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,Δ0直线与双曲线相交（两个交点）Δ=0直线与双曲线相切Δ0直线与双曲线相离②相切一点:△=0③相离:△＜0注:①相交两点:△＞0同侧：＞0异侧:＜0一点:直线与渐进线平行12xx12xx特别注意直线与双曲线的位置关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支一、交点——交点个数二、弦长——弦长公式三、弦的中点的问题——点差法直线与圆锥曲线相交所产生的问题：四、对称与垂直问题五、综合问题例.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线(1)没有公共点;(2)有两个公共点;(3)只有一个公共点;(4)交于异支两点；(5)与左支交于两点.(3)k=±1，或k=±；52(4)-1＜k＜1；(1)k＜或k＞；525252(2)＜k＜；52125-k1k且一、交点——交点个数1.过点P(1,1)与双曲线只有共有_______条.变题:将点P(1,1)改为1.A(3,4)2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎样的?4116922yx1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.交点的一个直线XYO（1，1）。一、交点——交点个数过点P且与双曲线相切的直线最多有2条也就是说过点P作双曲线的切线条数可能是2条、1条、0条当点P在含焦点区域外的黄色和绿色区域时，能作2条切线。P当点P在黄色区域时，所作的2条切线只能分别与双曲线的两支相切。P当点P在绿色区域时，所作的2条切线只能都与双曲线的一支相切。P当点P在渐近线上（中心除外）、双曲线上时，只能作1条切线。PPPP当点P在含焦点区域内、中心时，不可能作出双曲线的切线。2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是_________01，，3.过原点与双曲线交于两点的直线斜率的取值范围是13422yx323，，2一、交点——交点个数.3,3,.3,3,2,2,2,2ABCD曲线总有公共点，则b的取值范围是（）2ykxb221xy4、若不论K为何值，直线与B(2009·福建)已知双曲线x212－y24＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围()A．(－33，33)B．(－3，3)C.－33，33D．[－3，3]又由双曲线方程x212－y24＝1，有双曲线的渐近线方程为y＝±33x，∴有－33≤k≤33.•答案：C二、弦长问题23xyl的方程为：设07262123222xxyxxy由4274234221221241xxxxkABABABFyx。求的弦作倾斜角为的左焦点经过双曲线31.1122练习:1.过双曲线116922yx的左焦点F1作倾角为4的直线与双曲线交于A、B两点，则|AB|=.2.双曲线的两条渐进线方程为20xy，且截直线30xy所得弦长为833，则该双曲线的方程为（）(A)2212xy(B)2214yx(C)2212yx(D)2214xyD192722练习题:已知双曲线C:2x-y=2与点P1,2.1求过点P1,2的直线l的斜率k的取值范围,使l与C有一个交点?两个交点?没有交点?2是否存在过P的弦AB,使AB的中点为P?3若Q1,1,试判断以点Q为中点的弦是否存在?y=x+1;312;223korkno23223kkk且三、弦的中点的问题——点差法11223解:假设存在P(x,y),Q(x,y)为直线L上的两点,且PQ的中点为A,则有:，即方程为\1212y-y∴=2k=2L:y-1=2(x-1)x-x方程组无解，故满足条件的L不存在。121222222121yxyx））（（））（（两式相减得：212121212yyyyxxxx,0,0342)1(2112222xxyxyyx，得：消去又：点差法202-3802032)1(2)2(212222xxkkkkxkkxky）（得消12)1(122yxxky1122解:假设存在P(x,y),Q(x,y)为直线L上的两点,且PQ的中点为A,则有:无解，故满足条件的L不存在。韦达定理不存在。上，所以这样的在直线）不，中点（，纵坐标为的中点横坐标为：，即线段），那么由（的方程为：所以直线垂直，所以，与对称则直线两点关于直线）（，使得假设存在这样的实数）、解：方法（axyyxxxyaxyaxyxyyxyxa2132,312*22AB4112L221121),B(,,A12212211不存在。所以这样的ｍ，显然不符合上式，２１ｎ＝ｘ上，那么２１直线ｙ＝ｍ，又Ｐ（ｍ，ｎ）在２３即：ｎ＝－ｘｙｙ＋ｙｙ＋ｘ）＋ｙ）（ｙｙ）＝（ｙ＋ｘ）（ｘ两式做差得：３（那么有中点为Ｐ（ｍ，ｎ），线段由题意与双曲线的两个交点，直线）（解：法会更简单。和中点问题，利用点差本题涉及到直线的斜率axnmxxxyxyxaaxyyxyx2,2,2,1313AB,21),B(,,A21212121212121212222222122111、设双曲线C：与直线相交于两个不同的点A、B。（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。（2）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值。2221(0)xyaa:1lxy5,12PAPB五、综合问题1317,06028912,,.12125.1212172222222222aaaaxaaxaax所以由得消去所以