2.3.2离散型随机变量的方差20110321

12.3.2离散性随机变量的方差2一般地，若离散型随机变量X的概率分布为则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为X的均值或数学期望，记为E(X)或μ．Xx1x2…xnPp1p2…pn其中pi≥0，i＝1,2,…,n；p1＋p2＋…＋pn＝1（分布列的性质）1、离散型随机变量的均值的定义一、复习离散型随机变量X的均值（数学期望）1niiiEXxp反映了离散型随机变量取值的平均水平.32、均值的性质(1)()EaXbaEXb3、三种特殊分布的均值（2）若随机变量X服从两点分布，则EXp（3）若，则~(,)XBnpEXnp（1）若X~H(n,M,N)则E(X)＝NnM（2）E(X－EX)=.04如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2的分布列如下：试比较两名射手的射击水平.x18910P0.20.60.2x28910P0.40.20.4如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？下面的分析对吗？∵80.290.6100.29Ex280.490.2100.49Ex∴甲、乙两射手的射击水平相同.（你赞成吗？为什么？）显然两名选手的水平是不同的,这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性.探究5对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方差或标准差来刻画的.方差定义一组数据的方差：方差反映了这组数据的波动情况在一组数：x1,x2,…,xn中，各数据的平均数为，则这组数据的方差为：x2222121[()()()]nSxxxxxxn类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差..新课6离散型随机变量取值的方差和标准差:22211()()()iinnDxEpxEpxEpxxxx则称为随机变量x的方差.21()niiixEpx一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为：P1xix2x······1p2pip······nxnpx称Dxx为随机变量x的标准差.定义7它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值.练习一下8练习一下根据期望的定义可推出下面两个重要结论:结论1：则;,abx若EaEbx结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ=np.那么,根据方差的定义你能推出类似的什么结论:可以证明,对于方差有下面两个重要性质：2()DabaDxx⑴~(,)(1)⑵BnpDnppxx若，则结论结论3：若X~H(n,M,N)则E(X)＝NnM推论：常数的方差为_______.09甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示，X1，X2的概率分布下：X10123pk0.70.10.10.1X20123pk0.50.30.20如何比较甲、乙两个工人的技术？X10123pk0.60.20.10.1E(X1)＝0×0.6＋1×0.2＋2×0.1＋3×0.1＝0.7E(X2)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.710（2）若，则再回顾：两个特殊分布的方差（1）若X服从两点分布，则(1)DXpp（2）若，则~(,)XBnp(1)DXnpp两种特殊分布的均值（1）若X服从两点分布，则EXp~(,)XBnpEXnp11方差的性质2()DaXbaDX平移变化不改变方差，但是伸缩变化改变方差.均值的性质(1)()EaXbaEXb(2)()EaXbYaEXbEY推论：常数的方差为_______.012考察0－1分布X01P1－ppE(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p方差D(X)＝(0－p)2(1－p)＋(1－p)2×p＝p(1－p)标准差σ＝()(1)DXpp若X~H(n,M,N)则D(X)＝)1())((2NNnNMNnM若X~B(n,p)则D(X)＝np(1－p)13对随机变量X的均值(期望)的理解：(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均；(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，也就是说随机变量X可以取不同的值，而E(X)是不变的，它描述的是X取值的平均状态；(3)E(X)的公式直接给出了E(X)的求法．14(2010·衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有n件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品．(1)若这箱产品被用户接收的概率是，求n的值；(2)在(1)的条件下，记抽检的产品件数为X，求X的分布列和数学期望．15（1）利用古典概型易求.（2）X的取值为1、2、3，求出分布列代入期望公式.16【解】(1)设“这箱产品被用户接收”为事件A，∴n＝2.(2)X的可能取值为1,2,3.P(A)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=17∴X的概率分布列为：X123P1828109()123.5454545EX181．(2010·河南六市联考)甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的招聘面试．公司规定面试合格者可签约．甲、乙面试合格就签约；丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：(1)至少有三人面试合格的概率；(2)恰有两人签约的概率；(3)签约人数的数学期望．19解：(1)设“至少有3人面试合格”为事件A，则P(A)＝(2)设“恰有2人签约”为事件B，“甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约”为事件B1；“甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约”为事件B2；则：B＝B1＋B2P(B)＝P(B1)＋P(B2)20(3)设X为签约人数．X的分布列如下：P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=21X01234P52024161620()01234.81848181819EX22举一反三1.某有奖竞猜活动设有A、B两组相互独立的问题，答对问题A可赢得奖金3万元，答对问题B可赢得奖金6万元.规定答题顺序可任选，但只有一个问题答对后才能解答下一个问题，否则中止答题.假设你答对问题A、B的概率依次为、.若你按先A后B的次序答题，写出你获得奖金的数额ξ的分布列及期望值Eξ.1213ξ039p解析：若按先A后B的次序答题，获得奖金数额ξ的可取值为0,3(万元)，9（万元）.∵P（ξ=0）=,P（ξ=3）=,P（ξ=9）=.∴ξ的分布列为11122111123311123612131623题型二求随机变量的方差【例2】编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X.（1）求随机变量X的概率分布列；（2）求随机变量X的期望与方差.ξ的数学期望为E（ξ）=1110392.523624分析（1）随机变量X的意义是对号入座的学生个数，所有取值为0,1,3.若有两人对号入座，则第三人必对号入座.由排列与等可能事件概率易求分布列;（2）直接利用数学期望与方差公式求解.X013P解（1）P（X=0）=,P（X=1）=,P（X=3）=,故X的概率分布列为(2)E(X)=D(X)=33213A133312CA33116A1312161110131326222111011131132625举一反三2.设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不再放回.若用X表示取出次品的个数.（1）求X的分布列；（2）求X的均值E(X)和方差D(X).学后反思求离散型随机变量X的方差的步骤：（1）写出X的所有取值；（2）计算P（X=xi）;(3)写出分布列，并求出期望E(X)；（4）由方差的定义求出D(X).26解析：(1)P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.故X的分布列为(2)X的均值E(X)和方差D(X)分别为E(X)=;D(X)=3133152235CC122133151235CCC21213315135CCCX012P135123522352212120123535355222222212215201253553553517527题型四期望与方差的综合应用【例4】(14分)（2008·广东）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为ξ.(1)求ξ的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%,一等品率提高为70%,如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？28分析求ξ的分布列时，要先求ξ取各值时的概率.解（1）ξ的所有可能取值有6,2,1,-2……………………1′P(ξ=6)==0.63,…………………………………..2′P(ξ=2)==0.25,…………………………………..3′P(ξ=1)==0.1,…………………………………4′P(ξ=-2)=…………………………………..5′故ξ的分布列为……………………………………………………………………7′1260.63200500.25200200.120040.02200ξ621-2p0.630.250.10.0229(2)E(ξ)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+（-2）×0.02=4.34………………………………………………………………..9′(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E(ξ)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x(0≤x≤0.29)……………………………………….12′依题意，E(ξ)≥4.73,即4.76-x≥4.73,解得x≤0.03……13′所以三等品率最多为3%..............................14′学后反思本题主要考查学生运用知识，迁移知识的能力.解决该类实际问题的关键是将实际问题化为数学问题，利用已学的知识进行处理，这也是今后高考的一大热点.记忆方法:“三个x”2()EDxxx即