2.3.4平面与平面垂直的性质定理

复习回顾：（１）利用定义［作出二面角的平面角，证明平面角是直角］lllAB线面垂直面面垂直线线垂直面面垂直的判定（２）利用判定定理［线面垂直面面垂直］A1D1B1C1CBADαβEF思考如图，长方体中，α⊥β,(1)α里的直线都和β垂直吗？(2)什么情况下α里的直线和β垂直？与AD垂直不一定平面与平面垂直的性质定理符号表示:CDABABABCDABCDBDCAB两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．∵,∴AB⊥BE.又由题意知AB⊥CD,且BECD=B垂足为B.∴AB⊥.则∠ABE就是二面角的平面角.CD证明:在平面内作BE⊥CD,αβABDCE证明：垂足为B，那么AB⊥β,CD，,AB,ABCD思考1设平面⊥平面，点P在平面内，过点P作平面的垂线a，直线a与平面具有什么位置关系?aa直线a在平面内βαPβαPB.5AABaaa已知平面，，直线∥，，试判断直线与思的位置关系考αβAbalB垂直例1．S为三角形ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC。求证：AB⊥BC。SCBAD证明：过A点作AD⊥SB于D点.∵平面SAB⊥平面SBC,∴AD⊥平面SBC，∴AD⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.AD∩SA=A∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.练习1：如图，以正方形ABCD的对角线AC为折痕，使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面，求BD与平面ABC所成的角。ABCDDABCOO折成2.如图，平面AED⊥平面ABCD，△AED是等边三角形，四边形ABCD是矩形，（1）求证：EA⊥CDMDECAB（2）若AD＝1，AB＝，求EC与平面ABCD所成的角。2如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点.(1)求证：BM∥平面ADEF；(2)求证：平面BDE⊥平面BEC.【证明】(1)取DE中点N，连接MN，AN.在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且MN=CD.由已知AB∥CD，AB=CD，所以MN∥AB,且MN=AB,所以四边形ABMN为平行四边形.所以BM∥AN.又因为AN平面ADEF，且BM平面ADEF，所以BM∥平面ADEF.1212例3如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a，(1)求证：PD⊥平面ABCD；(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；(3)求二面角P－BC－D的大小．【分析】要求二面角应先求二面角的平面角．［总结提炼］☆已知面面垂直易找面的垂线，且在某一个平面内☆解题过程中应注意充分领悟、应用☆证明面面垂直要从寻找面的垂线入手☆理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义☆定义面面垂直是在建立在二面角的定义的基础上的线面垂直面面垂直线线垂直面面垂直线面垂直线线垂直αβaAB线线垂直线面垂直线线平行面面平行面面垂直垂直、平行关系小结2.面面垂直的性质推论：1.平面与平面垂直的性质定理：面面垂直线面垂直αβγlαβAbalβαPaaa∥αlDCAB