2.3PPT可自主编辑课件

结束首页末页上一页下一页幂函数的概念2.3幂函数[导入新知]幂函数的定义一般地，函数________叫作幂函数，其中____是自变量，____是常数．y＝xαxα结束首页末页上一页下一页[化解疑难]1．幂函数的特征(1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)；(2)xα前的系数为1，且只有一项．2．指数函数与幂函数的辨析指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的底数a为常数，指数为自变量；幂函数y＝xα(α∈R)以幂的底为自变量，指数α为常数．结束首页末页上一页下一页式子名称axy指数函数:y=ax幂函数:y=xa底数指数指数底数幂值幂值探究3：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？看看自变量x是指数还是底数幂函数指数函数探究2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？结束首页末页上一页下一页1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？（1）y=（2）y=2x2（3）y=x2+x（4）（5）y=2x21x答案（1）（4）尝试练习：53xy结束首页末页上一页下一页幂函数的概念[例1](1)下列函数：①y＝x3；②y＝12x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a1)．其中幂函数的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出定义域．结束首页末页上一页下一页[解析](1)选B②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.(2)[解]因为y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0；当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0.故所求幂函数的解析式为y＝x－3(x≠0)或y＝x0(x≠0)．结束首页末页上一页下一页幂函数的图象与性质[导入新知]常见幂函数的图象与性质解析式y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1y＝x12图象定义域RRR______________值域R[0，＋∞)R______________{x|x≠0}[0，＋∞){y|y≠0}[0，＋∞)结束首页末页上一页下一页解析式y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1y＝x12奇偶性___函数___函数___函数___函数________函数单调性在(－∞，＋∞)上单调______在(－∞，0]上单调______，在(0，＋∞)上单调______在(－∞，＋∞)上单调______在(－∞，0)上单调______，在(0，＋∞)上单调______在[0，＋∞)上单调______定点________奇偶奇奇非奇非偶递增递减递增递增递减递减递增(1,1)结束首页末页上一页下一页4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)结束首页末页上一页下一页y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定义域值域奇偶性单调性公共点奇偶奇非奇非偶奇(1,1)RRR{x|x≠0}［0,+∞）RR{y|y≠0}［0,+∞）［0,+∞）在R上增在（-∞，0)上减，观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:12在R上增在［0，+∞）上增，在（-∞，0]上减,在［0，+∞）上增，在(0，+∞)上减结束首页末页上一页下一页[化解疑难]幂函数的性质归纳(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．(2)α0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α1时，幂函数的图象下凸；当0α1时，幂函数的图象上凸．(3)α0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．结束首页末页上一页下一页2、已知幂函数y=f(x)的图象经过点（3，），求这个函数的解析式。12yx3待定系数法尝试练习：结束首页末页上一页下一页幂函数的图象[例2](1)如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图象，已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为()A．－2，－12，12，2B．2，12，－12，－2C．－12，－2,2，12D．2，12，－2，－12结束首页末页上一页下一页[活学活用]函数y＝x－12的图象大致是()解析：选D由幂函数的性质知函数y＝x－12在第一象限为减函数，且它的定义域为{x|x＞0}．结束首页末页上一页下一页利用幂函数的性质比较大小[例3]比较下列各组数中两个数的大小：(1)250.5与130.5；(2)－23－1与－35－1；(3)2334与2323.结束首页末页上一页下一页[解](1)因为幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又2513，所以250.5130.5.(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23－35，所以－23－1－35－1.结束首页末页上一页下一页(3)因为函数y1＝23x为R上的减函数，又3423，所以23232334.又因为函数y2＝x23在(0，＋∞)上是增函数，且3423，所以34232323，所以34232334.结束首页末页上一页下一页[类题通法]比较幂值大小的方法(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数．(2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数．(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．结束首页末页上一页下一页[活学活用]设a＝3525，b＝2535，c＝2525，则a，b，c的大小关系是()A．a＞c＞bB．a＞b＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a结束首页末页上一页下一页解析：选A由于幂函数y＝x25在(0，＋∞)上是增函数，且35＞25，所以3525＞2525，即a＞c.由于指数函数y＝25x在R上是减函数，且25＜35，所以2525＞2535，即c＞b.综上可知，a＞c＞b.结束首页末页上一页下一页用幂函数的单调性解题时易忽视单调区间的讨论[典例]已知幂函数y＝xm2－2m－3(－1m3，m∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则满足(a＋1)－m3(3－2a)－m3的a的取值范围为________．结束首页末页上一页下一页[解析]因为－1m3，m∈Z，所以m＝0,1,2.又因为函数图象关于y轴对称，所以m2－2m－3是偶数．又因为02－2×0－3＝22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，所以m＝1.又因为y＝x－13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，由(a＋1)－m3(3－2a)－m3，得a＋13－2a0或3－2aa＋10或a＋103－2a.解得a－1或23a32.[答案](－∞，－1)∪23，32结束首页末页上一页下一页[易错防范](1)解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出m的值后，依据幂函数的性质和图象建立关于a的不等式．在这里极易出现认为函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，则函数必在定义域内是减函数的认知误区，从而得出a＋13－2a，即a23的错误结论．(2)由f(x1)f(x2)得x1与x2的大小关系时，如果f(x)的单调区间不止一个，那么需要对x1，x2的范围进行讨论．这时可借助函数y＝f(x)的图象，直观地进行分析，得出结果．结束首页末页上一页下一页[活学活用]若(3－2m)12(m＋1)12，则实数m的取值范围为________．解析：考查幂函数y＝x12，因为y＝x12在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以3－2m≥0，m＋1≥0，3－2mm＋1，解得－1≤m＜23.故m的取值范围为－1，23.答案：－1，23首页末页上一页下一页结束应用落实体验(单击进入电子文档)首页末页上一页下一页结束