双曲线性质

3.3.2双曲线的几何性质一、复习回顾问题1.双曲线的两种标准方程是什么？a，b，c三个量之间的关系是怎样的？中心在原点，焦点在x轴上的标准方程是22221(0,0)yxabab中心在原点，焦点在y轴上的标准方程是22221(0,0)yxabab222bac椭圆双曲线标准方程图形范围对称性顶点012222babyax0,012222babyaxbyax,对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点ba,0,0,长轴长2a，短轴长2bxyo问题2.椭圆有哪些几何性质？试完成下表。曲线性质xyo离心率ace0e1,e越大，椭圆越扁e越小，椭圆越圆2.对称性1.范围axaxaxax,,12222即关于x轴、y轴和原点都对称。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)二、双曲线几何性质的探究yR3.顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点xyo-b1B2Bb1A2A-aa)0,a(A)0,a(A21、顶点是线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b.（2）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线（3）)0(22mmyx(如图)1yx思考：的图像是什么形状？轴轴和图像无限靠近yx1,xyyx轴轴叫做的渐近线.xyOxyo1A2A1B2Bab4.渐近线22221(0,0)yxababbyxa(1)双曲线的渐近线为22(0)xymmx(2)等轴双曲线的渐近线为y=(3)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图.xabyxaby离心率可以刻画椭圆的圆扁程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？xyo1A2A1B2Bab5.离心率cea(1)e等轴双曲线：2e221169xy例如:双曲线范围：)1(Ryxx,44或顶点坐标：)2()0,4(),0,4(21AA焦点坐标：)3()0,5(),0,5(21FF离心率：)4(45ace1F2F1AxyO2A(5)渐进线为：34yx22122yx双曲线的几何性质呢？实轴长：8虚轴长：6椭圆双曲线标准方程图形范围对称性顶点012222babyax0,012222babyaxbyax,对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点ba,0,0,长轴长2a，短轴长2b曲线性质xyo离心率ace0e1,e越大，椭圆越扁e越小，椭圆越圆1A2AO1F2F2B1BxyRyax,对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点)0,(a实轴长2a，虚轴长2bace(1)ee越大，开口越大e越小，开口越小渐近线无xaby0yxab令2222关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性离心率1(0,0)yxabab2222A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）),b(abxay0012222Rxayay，或关于x轴、y轴、原点对称)1(eace渐进线xbay..yB2A1A2B1xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)Ryaxax，或)1(eacexaby顶点0yxab令22220yxab令2222例1.求双曲线14416922xy的实半轴长,虚半轴长,顶点坐标，焦点坐标,离心率,渐近线方程。双曲线标准方程为:221169yx实半轴长:53422c虚半轴长:半焦距:顶点坐标是:(0,-4),(0,4)离心率:45ace渐近线方程:xy34解:a=4b=3三、双曲线几何性质的应用焦点坐标是:(0,-5),(0,5)Ex1.求双曲线223120xy的实半轴长,虚半轴长,顶点坐标，焦点坐标,离心率,渐近线方程。例2.分别求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)顶点在x轴上，两顶点间的距离为8，离心率是54；(2)焦点在y轴上，双曲线的渐近线方程为22yx，且过点M(2，－2)。Ex(1):焦点在y轴，虚轴长为12，离心率是；5422184yx3yxEx(2):与椭圆有相同焦点，且渐近线方程2222,(0)nyxmyxmn已知双曲线的渐近线方程为：则可设双曲线的方程为：(3)双曲线的渐近线方程为,22yx且过点M(2，－2)。Ex(3):焦距为20，渐近线方程为．12yx3.,4yx例3若双曲线的渐近线为则双曲线的离心率为Ex3.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.2B.3C.3＋12D.5＋122202.136F30ABAByx例4如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于、两点，求。xyo1F2FBAEx4.已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过其右焦点F2，与双曲线交于A、B两点，且倾斜角为45°，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求出线段AB的长．关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性离心率)0(1babyax2222A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）),b(abxay0012222Rxayay，或关于x轴、y轴、原点对称)1(eace渐进线xbay..yB2A1A2B1xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)Ryaxax，或)1(eacexaby顶点0yxab令22220yxab令2222五、课堂小结椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法∆0∆=0∆0（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）复习:相离相切相交直线与双曲线位置关系：XYO分类:相离；相切；相交。根据交点个数判定XYOXYO相离:0个交点相交:一个交点相交:两个交点相切:一个交点图象法:把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的渐近线平行相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离代数法:判断直线与双曲线位置关系的操作流程图消去，得2222y=kx+my:xy-=1ab(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=01.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。重合：无交点；平行：有一个交点。2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,Δ0直线与双曲线相交（两个交点）Δ=0直线与双曲线相切Δ0直线与双曲线相离判断直线与双曲线位置关系的具体步骤代数法:②相切一点:△=0③相离:△＜0①相交两点:△＞0同侧：＞0异侧:＜0一点:直线与渐近线平行12xx12xx典型例题:特别注意：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线(1)没有公共点;(2)有两个公共点;(3)只有一个公共点;(4)交于异支两点；(5)与左支交于两点.(3)k=±1，或k=±；52(4)-1＜k＜1；(1)k＜或k＞；525252(2)＜k＜；52125-k1k且典型例题:221-kx+2kx-5=0112222112222,,,,44,44AxyBxyxx解法二:设则yy111112124,yyyyxxxx1,8,ABP弦的中点是12122,16.xxyy1112168,yyxx11121,2yyABxx直线的斜率为12x直线AB的方程为y-81=即直线AB的方程为x-2y+15=0例2.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条弦AB，求直线AB的方程。