江科大大一高数一D1_1映射与函数

教材：高等数学（同济大学第五版）教参：高等数学辅导（盛祥耀等）高等数学习题课教程（蒋家尚）辅助教材：微积分（同济大学）高等数学教程（清华大学）平时（10%）+期中（20%）+期末（70%）预习学习方法提问作业复习听讲成绩评定引言什么是高等数学?初等数学—研究对象为常量,以静止观点研究问题.高等数学—研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数,运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成恩格斯为必要的,而微积分也就立刻产生.第一章高数基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数与极限第一章二、映射三、函数一、集合第一节映射与函数点a的邻域：其中a称为邻域中心,称为邻域半径.去心邻域：左邻域:右邻域:一、集合定义及表示法定义1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合.表示法.两个数学符号.定义2.设X,Y是两个非空集合,若存在一个法则f,使得有唯一确定的与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作.:YXf元素y称为元素x在映射f下的像,记作).(xfy元素x称为元素y在映射f下的原像.集合X称为映射f的定义域;Y的子集)(XfXxxf)(称为f的值域.注意:1)构成映射的三要素:定义域,值域,唯一对应.2)元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.XYf二、映射对映射若YXf)(,则称f为满射;XYf)(Xf若有则称f为单射;若f既是满射又是单射,则称f为双射或一一映射.XYX(数集或点集)说明:在不同数学分支中有不同的惯用X(≠)Y(数集)ff称为X上的泛函X(≠)Xff称为X上的变换Rff称为定义在X上的为函数映射又称为算子.名称.例如,10逆映射的定义:若映射为单射,则存在一新映射使习惯上,Dxxfy,)(的逆映射记成)(,)(1Dfxxfy例如,映射其逆映射为)(DfDf1f其中称此映射1f为f的逆映射.11复合映射定义:Dxg)()(Dgxgu1Duf则当1)(DDg由上述映射链可定义由D到Y的复.),(Dxxgf设有映射链记作合映射,时,或)(Dg注意:构成复合映射的条件1)(DDg不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.三、函数1.函数的概念定义3.设数集,RD则称映射为定义在D上的函数,记为Dxxfy,)(f(D)称为值域函数图形:),(yxCDx,)(xfyxy)],[(baDabxy)(DfDDxfDxxfyyDfy),()((对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值•定义域•对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值域2.函数的几种特性设函数,,)(Dxxfy且有区间.DI(1)有界性,Dx,0M使,)(Mxf称)(xf,Ix,0M使,)(Mxf称)(xf说明:还可定义有上界、有下界、无界(见上册P11)(2)单调性为有界函数.在I上有界.,Dx使若对任意正数M,均存在,)(Mxf则称f(x)无界.称为有上界称为有下界,)(,Mxf),(,xfM当,,21Ixx21xx时,,)()(21xfxf若称)(xf为I上的,)()(21xfxf若称)(xf为I上的单调增函数;单调减函数.xy1x2xxyoxx(3)奇偶性,Dx且有,Dx若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.说明:若)(xf在x=0有定义,.0)0(f)(xf为奇函数时,则当必有例如,2)(xxeexfyxch偶函数xyoxexexych双曲余弦记xyo又如,2)(xxeexfy奇函数xexexyshxsh双曲正弦记再如,xxychshxxxxeeee奇函数oyx11xth双曲正切记xyth(4)周期性,,0Dxl有,Dlx则称)(xf为周期函数,xo2y2若称l为周期(一般指最小正周期).周期为周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数Cxf)(狄里克雷函数x为有理数x为无理数,1,03.反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,Dxxfy,)(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此映射1f为f的反函数.其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,),(,xeyx对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.)(xfyxy),(abQxyo指数函数(2)复合函数1),(Duufy1)(DDg且则设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①②u称为中间变量.注意:构成复合函数的条件1)(DDg不可少.例如,函数链:,arcsinuy函数但函数链22,arcsinxuuy不能构成复合函数.可定义复合两个以上函数也可构成复合函数.例如,0,uuy可定义复合函数:Zn02cot,22xkxk时),2,1,0(,cotkkvvu),(,2xxv复合函数的分解.4.初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.例如,,2xyy0,xx0,xx并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.(自学,P17–P21)非初等函数举例:符号函数当x0当x=0当x0xyo11取整函数当xyo134212例2.求y的反函数及其定义域.解:01x当时,2xy则]1,0(,yyx10x当时,xyln则]0,(,yexy21x当时,12xey则]2,2(,ln12eyxy反函数y定义域为]2,2(]1,(e21,210,ln01,12xexxxxx212e21yox1,]1,0(,]0,(,]2,2(e且思考题证明证:令,1xt则,1txtctfbfat)()(1由xcxfbfax)()(1消去),(1xf得时其中a,b,c为常数,且为奇函数.为奇函数.1.设2.设函数),(,)(xxfy的图形与,ax均对称,求证)(xfy是周期函数.)(baby证:由)(xaf)(xf的对称性知),(xaf)(xbf)(xbf于是)(xf)(axaf)2(xaf故)(xf是周期函数,周期为给出了几何问题的统一笛卡儿(1596～1650)法国哲学家,数学家,物理学家,他是解析几何奠基人之一.1637年他发表的《几何学》论文分析了几何学与代数学的优缺点,进而提出了“另外一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”,从而提出了解析几何学的主要思想和方法,恩格斯把它称为数学中的转折点.把几何问题化成代数问题,作图法,