正余弦定理的综合运用

正弦定理、余弦定理综合运用知识目标：1、三角形形状的判断依据；2、利用正弦、余弦定理进行边角互换。能力目标：1、进一步熟悉正、余弦定理；2、边角互化；3、判断三角形的形状；4、证明三角形中的三角恒等式。教学重点：利用正弦、余弦定理进行边角互换。教学难点：1、利用正弦、余弦定理进行边角互换时的转化方向；2、三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系。CcBbAasinsinsin余弦定理：2aAbccbcos2222bBaccacos2222cCabbacos222正弦定理：复习：（R是三角形外接圆半径）R2实现边角互化余弦定理的变式.2sin,2sin,2sinRcCRbBRaA.2cos,2cos,2cos222222222abcbaCacbcaBbcacbA,sin2,sin2,sin2CRcBRbARa正弦定理的变式基础知识自主学习要点梳理1．解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(除三角外)才能求解，常见类型及其解法如表所示.已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°,求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解.两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角．在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C.在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解，一解或无解例1．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则（）（A）△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形（B）△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形（C）△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形（D）△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形题型一:判断三角形形状解：△A1B1C1的三个内角的余弦值都大于0，所以△A1B1C1是锐角三角形，若△A2B2C2也是锐角三角形，则sinA2=cosA1=sin(－A1)，则A2=－A1，22同理B2=－B1，C2=－C1，22矛盾所以△A2B2C2不是锐角三角形，选D。则A2+B2+C2=－(A1+B1+C1)=，2322.,coscos,.ABCabcBcAABC在中判断的形状小结一：判断三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，通常是运用正弦定理，这也要求同学们所学三角公式要熟悉，已知三角函数值求角时，要先确定角的范围ABC在中，若，则是()A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等边三角形2cos2cos2cosCcBbAaABCD练习一2cossin22cossin22cossin2CCRBBRAAR略解：由正弦定理得：2cos2cos2sin22cos2cos2sin22cos2cos2sin2CCCBBBAAA2sin2sin2sinCBA＝＝222222CBACBA＝＝是锐角，，，又题型二：三角形中的化简求值题例2：△ABC中，已知a=2，求bcosC＋ccosB的值。解:（化角为边）由余弦定理得：abcba2222bcosC＋ccosB＝＋c·acbca2222abcaacba22222222b·2a解法二:（化边为角）由正弦定理得：bcosC＋ccosB＝BCRCBRcossin2cossin22sinsinaAAa例2：△ABC中，已知a=2，求bcosC＋ccosB的值。)sin(2CBR)sin(2AR射影定理：a=bcosC＋ccosB,b=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA解法一：,sin2,sin2,sin2CRcBRbARa代入得：,sinsin2sincoscosCABCBcabCB2coscos0cossin2BA即,0cossin2BA,sin)sin(ACBCBA又0sincossin2ABA21cos0sinBA32BB为三角形的内角，故,cbaCBAABC、、所对的边分别为、、中，的大小。求且BcabCB,2coscos由正弦定理得：（化边为角）例3：BCBCsincoscossin)sin(CB,2cos222acbcaB解法二：由余弦定理得abcbaC2cos222cabCB2coscos代入得：acbca2222cabcbaab22222整理得,222acbca2122cos222acacacbcaB32BB为三角形的内角，故,cbaCBAABC、、所对的边分别为、、中，的大小。求且BcabCB,2coscos（化角为边）例3：解：由余弦定理知：，212cos222bcacbA,60,1800AA,120)(180BBAC又,sinsinBCbc且由正弦定理知,321sin)120sin(BBBBBsinsin120coscos120sin321bc,cbaCBAABC、、所对的边分别为、、中，的大小。和求且若BAbcabccbtan,321,22221tanB解得（化边为角）练习二32121tan23BBCsinsin321题型三:证明恒等式coscoscbAbcA例3：在三角形ABC中，三个内角为A、B、C，对应边为a、b、ccosB求证：cosC方法一:边化角;方法二:角化边;小结三：由边向角转化后，要熟练运用三角函数公式，有时又要由角转化为边；三角形中的有关证明问题，主要围绕边与角的三角函数展开，从某种意义上来看，这类证明问题就是有了目标的含边与角的式子的化简问题。练习：在△ABC中，求证：a2sin2B+b2sin2A=2absinC题型四、面积问题变式4、已知△ABC的三边长求△ABC的面积3,5,6abc变式3、已知△ABC的面积求C角的大小？2224abcS变式1.△ABC的面积为求A32,32bc,且变式2、在△ABC中，求△ABC的面积及外接圆半径12,3,cos3abC,?sinsinsinabcABC例5、a,a+1,a+2构成钝角三角形，求a的取值范围。变式：锐角三角形的三边长为2,x,3，求x的取值范围。练习：三条线段长度为2,x,6(1)求构成直角三角形时，x的取值范围(2)求构成锐角三角形时，x的取值范围(3)求构成钝角三角形时，x的取值范围题型五、范围问题(07全国卷)在锐角三角形ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，a=2bsinA（1）求B的大小；（2）若a=33，c=5，求b（3）求cosA+sinC的取值例6范围。130（）（2）733（3）（，）2A解：（3）cosA+sinC=cosA+sin（-）6sin3sin3AAA=cosA+sin（）613=cosA+cosA+22（）,BABA为锐角三角形的内角知22226325A33613sin()A232333sin()A232,3)3cosA+sinC的取值范围是(21、（07年全国卷）(3,4),(0,0),(,0)(1)5,;(2)0,ABCcc若三角形中顶点坐标为若求sinA的值若ABAC求c的值;(3)若A为钝角,求c的取值范围.方法一：正弦定理（1）方法二：余弦定理（2）方法一：向量数量积定义方法二：勾股定理（3）余弦定理253c253c25sin5A练习：2233ABCABC、（07全国卷）在中，，边，设内角B=x，周长为y。1（）求函数y=f（x）的解析式和定义域；（2）求y的最大值。224sin4sin230)331yxxx（（）,（）43sin()3226yx（）63y易求最大值为小结：1、学会利用正弦、余弦定理解决两类题型：（1）判断三角形的形状；（2）三角形中的求值题。2、两种题型思路的共同点就是从“统一”着眼，或统一转化为三角函数，作三角变换；或统一转化为边，作代数变换。3、解三角形中的求值题时还要注意综合运用三角形的有关性质和三角公式进行变形。4、本节课渗透的主要数学思想：转换的思想和方程的思想