正余弦定理知识点总结及高考考试题型

-1-三角函数五——正、余弦定理一、知识点（一）正弦定理：2,sinsinsinabcRABC其中R是三角形外接圆半径.变形公式：（1）化边为角：2sin,2sin,2sin;aRAbRBcRC（2）化角为边：sin,sin,sin;222abcABCRRR（3）::sin:sin:sinabcABC（4）2sinsinsinsinsinsinabcabcRABCABC.3、三角形面积公式：21111sinsinsin2sinsinsin22224ABCabcSahabCacBbcARABCR4、正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）（二）余弦定理：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC由此可得：222222222cos,cos,cos.222bcaacbabcABCabacab.注：2a＞22cbA是钝角；2a=22cbA是直角；2a＜22cbA是锐角；2、余弦定理可以解决的问题：（1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）三、正、余弦定理的应用射影定理：coscos,coscos,coscos.abCcBbaCcAcaBbA有关三角形内角的几个常用公式-2-sinsin;coscos;tantansincos,cossin.2222ABCABCABCABCABC解三角形常见的四种类型（1）已知两角,AB与一边a：由180ABC及正弦定理sinsinsinabcABB，可求出C，再求,bc。（2）已知两边,bc与其夹角A，由2222cosabcbcA，求出a，再由余弦定理，求出角,BC。（3）已知三边abc、、，由余弦定理可求出ABC、、。（4）已知两边,ab及其中一边的对角A，由正弦定理sinsinabAB，求出另一边b的对角B，由180CAB，求出C，再由sinsinacAC求出c，而通过sinsinabAB求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：二、例题讲解（一）求边的问题（2009广东文）已知ABC中，CBA,,的对边分别为,,abc若62ac且75Ao，则b()A．2B．4＋23C．4—23D．62【答案】AA90°A90°A90°ab一解一解一解ab无解无解一解absinabA两解无解无解sinabA一解sinabA无解-3-【解析】000000026sinsin75sin(3045)sin30cos45sin45cos304A由62ac可知,075C,所以030B,1sin2B由正弦定理得261sin2sin2264abBA,故选A（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，02coscos232AA，7a，c=6，则b（）A.10B.9C.8D.5【解题指南】由02coscos232AA，利用倍角公式求出Acos的值，然后利用正弦定理或余弦定理求得b的值.【解析】选D.因为02coscos232AA，所以01cos2cos2322AA，解得251cos2A，方法一:因为△ABC为锐角三角形，所以51cosA,562sinA.由正弦定理CcAasinsin得，Csin65627.35612sinC，3519cosC.又)(CAB，所以CACACABsincoscossin)sin(sin，17565035612513519562sinB.由正弦定理BbAasinsin得,1756505627b，解得5b.方法二:由余弦定理Abccbacos2222，51cosA，则495112362bb，解得5b（2011浙江）在ABC中，角,,ABC所对的边分,,abc.若cossinaAbB，则2sincoscosAAB()A．-12B．12C．-1D．1【答案】D-4-【解析】∵BbAasincos，∴BAA2sincossin，∴1cossincoscossin222BBBAA.9、（2011安徽）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=3，b=2，12cos()0BC，求边BC上的高.【解析】：∵A＋B＋C＝180°，所以B＋C＝A，又12cos()0BC，∴12cos(180)0A，即12cos0A，1cos2A，又0°A180°，所以A＝60°.在△ABC中，由正弦定理sinsinabAB得sin2sin602sin23bABa，又∵ba，所以B＜A，B＝45°，C＝75°，∴BC边上的高AD＝AC·sinC＝2sin752sin(4530)2(sin45cos30cos45sin30)2321312()22222在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=3b.(1)求角A的大小.(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.【解题指南】(1)由正弦定理易求角A的大小;(2)根据余弦定理,借助三角形的面积公式求解.【解析】(1)由2asinB=错误!未找到引用源。b及正弦定理sinsinabAB,得sinA=-5-错误!未找到引用源。,因为A是锐角,所以3A.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2-bc=36,又b+c=8,所以283bc,由三角形面积公式S=错误!未找到引用源。bcsinA,得△ABC的面积为错误!未找到引用源。.6、（2012重庆理）设ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc,且35cos,cos,3,513ABb则c______【答案】145c【解析】由35412cos,cossin,sin513513ABAB,由正弦定理sinsinabAB得43sin13512sin513bAaB,由余弦定理2222142cos25905605acbbcAccc.4、（2012福建文）在ABC中,已知60,45,3BACABCBC,则AC_______.【答案】2【解析】由正弦定理得32sin45sin60ACAC5、（2011北京）在ABC中，若15,,sin43bBA，则a.【答案】325-6-【解析】：由正弦定理得sinsinabAB又15,,sin43bBA所以552,13sin34aa1、在△ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，3A,3,1ab，则c（）A、1B、2C、31D、32、在△ABC中，,,abc分别为,,ABC的对边.如果,,abc成等差数列，B30°，△ABC的面积为23，那么b（）A、132B、31C、232D、323、在△ABC中，角,,ABC所对的边长分别为,,abc，若C120°，2ca，则（）A、abB、abC、abD、a与b的大小关系不能确定5、若△ABC的周长等于20，面积是310，=A60°，则BC边的长是（）A、5B、6C、7D、87、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程25760xx的根，则三角形的另一边长为（）A、52B、213C、16D、411、在ABC中.若b=5，4B，sinA=13，则a___________________.12、若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于13、如图，在△ABC中，若1,3bc，23C，则a。（二）求角的问题（2013·北京高考文科·Ｔ5）在△ABC中，a=3,b=5,sinA=13,则sinB=()A.15B.59C.53D.1【解析】选B。2012天津理）在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是,,abc,已知8=5bc,=2CB,则cosC(）A．725B．725C．725D．2425【答案】A【解析】85,bc由正弦定理得8sin5sinBC，又2CB，8sin5sin2BB，-7-所以8sin10sincosBBB，易知247sin0,cos,coscos22cos1525BBCBB（2013·湖南高考文科·Ｔ5）在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB=3b，则角A等于（）A.3B.4C.6D.12【解题指南】本题先利用正弦定理BbAasinsin化简条件等式，注意条件“锐角三角形”.【解析】选A.由2asinB=3b得2sinAsinB=3sinB,得sinA=23,所以锐角A=3.（2013·湖南高考理科·Ｔ3）在锐角ABC中，角,AB所对的边长分别为,ab.若2sin3,aBbA则角等于（）A．12B．6C．4D．3【解题指南】本题先利用正弦定理BbAasinsin化简条件等式，注意条件“锐角三角形”.【解析】选D.由2asinB=3b得2sinAsinB=3sinB,得sinA=23,所以锐角A=3.（2013·天津高考理科·Ｔ6）在△ABC中,,2,3,4ABBCABC则sinBAC=()A.1010B.105C.31010D.55【解题指南】先由余弦定理求AC边长，然后根据正弦定理求值.【解析】选C.在△ABC中，由余弦定理得，22222cos2922342ABBACCABBC5,所以5,AC由正弦定理得,ssininBCABAC即5sin43,sinA所以310sin10BAC.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知错误!未找到引用源。.(1)求角B的大小；(2)若ac1，求b的取值范围.-8-【解题指南】(1)借助三角形内角和为，结合三角恒等变换将条件中的等式转化为只含B的方程，求出B的三角函数值，进而可求出角B.（2）根据（1）求出的B与ac1，由余弦定理可得b2关于a的函数，注意到ac1可知0a1，进而可求出b的范围.【解析】（1）由已知得cos(AB)cosAcosB3sinAcosB0，即sinAsinB3sinAcosB0.因为sinA0，所以sinB3cosB0,又cosB0,所以tanB3,又0B，所以B3.（2）由余弦定理，有222bac2accosB，因为ac1，1cosB2,所以2211b3(a)24，又因为0a1，所以21b14，即1b12.(2013·浙江高考理科·T16)在△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点.若1sin3BAM,则sin∠BAC=.【解题指南】分别在Rt△ABC和△ABM中应用勾股定理和正弦定理.【解析】设AC=b,AB=c,BC=a,在△ABM中由正弦定理得12sinsinacBAMBMA①,因为sinsinACBMACMAAM,又22ACbca,22221344AMbaca,所以2222sin34caBMAca.又由①得2222121334accaca,两边平方化简得4c4-12a2c2+9a4=0,所以2c2-3a2=0,-9-所以6sin3aBACc.【答案】63（2013·上海高考文科·T5）已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a2+ab+