2015年高考真题解答题专项训练：立体几何(文科)教师版

试卷第1页，总19页2015年高考真题解答题专项训练：立体几何（文科）教师版1．（本题满分15分）如图，在三棱锥𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，∠BAC=90∘，AB=AC=2,𝐴𝐴1=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为𝐵1𝐶1的中点.（1）证明：𝐴1D⊥平面A1BC；（2）求直线A1B和平面B𝐵1C𝐶1所成的角的正弦值.【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷带解析）【答案】（1）见解析；（2）√78【解析】（1）利用线面垂直的定义得到线线垂直，根据线面垂直的判定证明直线与平面垂直；（2）通过添加辅助线，证明𝐴1𝐹⊥平面𝐵𝐵1𝐶1𝐶，以此找到直线与平面所成角的平面角∠𝐴1𝐵𝐹，在直角三角形𝐴1𝐵𝐹中通过确定边长，计算∠𝐴1𝐵𝐹的正弦值.试题解析：（1）设𝛦为𝛣C中点，由题意得𝐴1𝐸⊥平面𝛢𝛣C，所以𝐴1𝐸⊥𝐴𝐸.因为𝐴𝐵=𝐴𝐶，所以𝐴𝐸⊥𝐵𝐶.所以𝐴𝐸⊥平面𝐴1𝐵𝐶.由D，𝛦分别为𝐵1𝐶1,𝐵𝐶的中点，得𝐷𝐸//𝐵𝐵1且𝐷𝐸=𝐵𝐵1，从而𝐷𝐸//𝐴𝐴1且𝐷𝐸=𝐴𝐴1，所以𝐴𝐴1𝐷𝐸是平行四边形，所以𝐴1𝐷//𝐴𝐸.因为𝐴𝐸⊥平面𝐴1𝐵𝐶，所以𝐴1𝐷⊥平面𝐴1𝐵𝐶.（2）作𝐴1𝐹⊥𝐷𝐸，垂足为F，连结𝛣F.因为𝐴𝐸⊥平面𝐴1𝐵𝐶，所以𝐵𝐶⊥𝐴1𝐸.试卷第2页，总19页因为𝐵𝐶⊥𝐴𝐸，所以𝐵𝐶⊥平面𝐴𝐴1𝐷𝐸.所以𝐵𝐶⊥𝐴1𝐹,𝐴1𝐹⊥平面𝐵𝐵1𝐶1𝐶.所以∠𝐴1𝐵𝐹为直线𝐴1𝐵与平面𝐵𝐵1𝐶1𝐶所成角的平面角.由𝐴𝐵=𝐴𝐶=2,∠𝐶𝐴𝐵=90∘，得𝐸𝐴=𝐸𝐵=√2.由𝐴𝐸⊥平面𝐴1𝐵𝐶，得𝐴1𝐴=𝐴1𝐵=4,𝐴1𝐸=√14.由𝐷𝐸=𝐵𝐵1=4,𝐷𝐴1=𝐸𝐴=√2,∠𝐷𝐴1𝐸=90∘，得𝐴1𝐹=√72.所以sin∠𝐴1𝐵𝐹=√78考点：1.空间直线、平面垂直关系的证明；2.直线与平面所成的角.视频2．如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，𝐵𝐸⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，（I）证明：平面𝐴𝐸𝐶⊥平面𝐵𝐸𝐷；（II）若∠𝐴𝐵𝐶=120∘，𝐴𝐸⊥𝐸𝐶,三棱锥𝐸−𝐴𝐶𝐷的体积为√63，求该三棱锥的侧面积.【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ带解析）【答案】（1）见解析（2）3+2√5【解析】试题分析：（Ⅰ）由四边形ABCD为菱形知AC⊥BD，由BE⊥平面ABCD知AC⊥BE，由线面垂直判定定理知AC⊥平面BED，由面面垂直的判定定理知平面𝐴𝐸𝐶⊥平面𝐵𝐸𝐷；（Ⅱ）设AB=𝑥，通过解直角三角形将AG、GC、GB、GD用x表示出来，在𝑅𝑡𝛥AEC中，用x表示EG，在𝑅𝑡𝛥EBG中，用x表示EB，根据条件三棱锥𝐸−𝐴𝐶𝐷的体积为√63求出x，即可求出三棱锥𝐸−𝐴𝐶𝐷的侧面积.试题解析：（Ⅰ）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE，故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED（Ⅱ）设AB=𝑥，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，可得AG=GC=√32𝑥,GB=GD=𝑥2.因为AE⊥EC，所以在𝑅𝑡𝛥AEC中，可得EG=√32𝑥.试卷第3页，总19页由BE⊥平面ABCD，知𝛥EBG为直角三角形，可得BE=√22𝑥.由已知得，三棱锥E-ACD的体积𝑉𝐸−𝐴𝐶𝐷=13×12𝐴𝐶⋅𝐺𝐷⋅𝐵𝐸=√624𝑥3=√63.故𝑥=2从而可得AE=EC=ED=√6.所以𝛥EAC的面积为3，𝛥EAD的面积与𝛥ECD的面积均为√5.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2√5.考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力视频3．如图，直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的底面是边长为2的正三角形，𝐸,𝐹分别是𝐵𝐶,𝐶𝐶1的中点。（１）证明：平面𝐴𝐸𝐹⊥平面𝐵1𝐵𝐶𝐶1；（２）若直线𝐴1𝐶与平面𝐴1𝐴𝐵𝐵1所成的角为45∘，求三棱锥𝐹−𝐴𝐸𝐶的体积．【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷带解析）【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）√612.【解析】试题分析：（１）由面面垂直的判定定理很容易得结论；（２）所求三棱锥底面积容易求得，是本题转化为求三棱锥的高𝐹𝐶，利用直线𝐴1𝐶与平面𝐴1𝐴𝐵𝐵1所成的角为，作出线面角，进而可求得的值，则可得的𝐹𝐶长．试题解析：（1）如图，因为三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1是直三棱柱，所以𝛢𝛦⊥𝛣𝛣1，又𝛦是正三角形𝛢𝛣C的边𝛣C的中点，所以𝛢𝛦⊥𝛣C又𝛣C∩𝛣𝛣1=𝛣，因此𝛢𝛦⊥平面𝛣1𝛣CC1而𝛢𝛦⊂平面𝛢𝛦F，所以平面𝛢𝛦F⊥平面𝛣1𝛣CC1（2）设𝛢𝛣的中点为D，连结𝛢1D,CD试卷第4页，总19页因为𝛥𝛢𝛣C是正三角形，所以CD⊥𝛢𝛣又三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1是直三棱柱，所以CD⊥𝛢𝛢1因此CD⊥平面𝛢1𝛢𝛣𝛣1，于是∠C𝛢1D为直线𝛢1C与平面𝛢1𝛢𝛣𝛣1所成的角，由题设，∠C𝛢1D=45∘，所以𝛢1D=CD=√32𝛢𝛣=√3在Rt𝛥𝛢𝛢1D中，𝛢𝛢1=√𝛢1D2−𝛢D2=√3−1=√2，所以FC=12𝛢𝛢1=√22故三棱锥F−𝛢𝛦C的体积V=13𝑆𝛥𝛢𝛦C⋅FC=13×√32×√22=√612考点：直线与平面垂直的判定定理；直线与平面所成的角；几何体的体积．视频4．（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，点E是PC的中点，连接,,DEBDBE．（Ⅰ）证明：DE平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马PABCD的体积为1V，四面体EBCD的体积为2V，求12VV的值．【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷带解析）【答案】（Ⅰ）因为PD底面ABCD，所以PDBC．由底面ABCD为长方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC平面PCD．DE平面PCD，所以试卷第5页，总19页BCDE．又因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC．而PCBCC，所以DE平面PBC．四面体EBCD是一个鳖臑；（Ⅱ）124.VV【解析】（Ⅰ）因为PD底面ABCD，所以PDBC．由底面ABCD为长方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC平面PCD．DE平面PCD，所以BCDE．又因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC．而PCBCC，所以DE平面PBC．由BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,.BCDBCEDECDEB（Ⅱ）由已知，PD是阳马PABCD的高，所以11133ABCDVSPDBCCDPD；由（Ⅰ）知，DE是鳖臑DBCE的高，BCCE，所以21136BCEVSDEBCCEDE．在Rt△PDC中，因为PDCD，点E是PC的中点，所以22DECECD，于是121234.16BCCDPDVCDPDVCEDEBCCEDE考点：本题考查直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何体的体积，属中高档题．视频5．（本小题满分14分）如图，三角形DC所在的平面与长方形CD所在的平面垂直，DC4，6，C3．（1）证明：C//平面D；（2）证明：CD；（3）求点C到平面D的距离．【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（广东卷带解析）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）372．【解析】试卷第6页，总19页试题分析：（1）由四边形CD是长方形可证C//D，进而可证C//平面D；（2）先证CCD，再证C平面DC，进而可证CD；（3）取CD的中点，连结和，先证平面CD，再设点C到平面D的距离为h，利用CDCDVV三棱锥三棱锥可得h的值，进而可得点C到平面D的距离．试题解析：（1）因为四边形CD是长方形，所以C//D，因为C平面D，D平面D，所以C//平面D（2）因为四边形CD是长方形，所以CCD，因为平面DC平面CD，平面DC平面CDCD，C平面CD，所以C平面DC，因为D平面DC，所以CD（3）取CD的中点，连结和，因为DC，所以CD，在RtD中，22DD22437，因为平面DC平面CD，平面DC平面CDCD，平面DC，所以平面CD，由（2）知：C平面DC，由（1）知：C//D，所以D平面DC，因为D平面DC，所以DD，设点C到平面D的距离为h，因为CDCDVV三棱锥三棱锥，所以DCD1133ShS，即CDD136737212342ShS，所以点C到平面D的距离是372考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.6．如图，三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，1,1,2,60PAABACBAC．（Ⅰ）求三棱锥P-ABC的体积；试卷第7页，总19页（Ⅱ）证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求PMMC的值．【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷带解析）【答案】（Ⅰ）36；（Ⅱ）13【解析】（Ⅰ）解：由题设＝1,可得.由面可知是三棱锥的高,又所以三棱锥的体积（Ⅱ）证：在平面内，过点B作，垂足为，过作交于，连接.由面知，所以.由于，故面，又面，所以.在直角中，，从而.由，得.考点：本题主要考查锥体的体积公式、线面垂直的判定定理和其性质定理.视频7．如图，长方体1111ABCDABCD中，116,10,8ABBCAA，点,EF分别在试卷第8页，总19页1111,ABDC上，114AEDF，过点,EF的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）．（2）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值．【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ带解析）【答案】（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ）97或79【解析】试题分析：（Ⅰ）分别在,ABCD上取H,G,使10AHDG；长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,可求得其体积比值为97或79试题解析：解：（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF如图：（Ⅱ）作垂足为M,则18EMAA,,,因为EHGF是正方形,所以,于是因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积比值为97（79也正确）.考点：本题主要考查几何体中的截面问题及几何体的体积的计算.视频8．（本题满分12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,AB的点，垂直于圆所在的平面，且1．试卷第9页，总19页（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证C平面D；（Ⅱ）求三棱锥PA