2015高考真题数学考点39 直线与圆锥曲线的位置关系

考点39直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1.(2015·四川高考理科·T10)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)【解题指南】数形结合、分类讨论.结合几何特征,可以利用三角函数设出切点坐标,利用点差法可表示出半径,再结合圆与抛物线的位置关系,进一步确定半径范围.【解析】选D.当直线与x轴垂直的时候,满足条件的直线有且只有2条.当直线与x轴不垂直的时候,由对称性不妨设切点M(5+rcosθ,rsinθ)(0θπ),则切线的斜率:kAB=-sincos,又M为AB中点,由点差法可求得,kAB=sin2r,所以r=-cos2,r2.由于点M在抛物线内,所以y24x,将坐标代入可求得r4,综上,2r4.2.（2015·四川高考文科·T10)设直线l与抛物线24yx相交于A，B两点，与圆222(5)xyr（0r）相切于点M，且M为线段AB的中点。若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）（A）(1,3)（B）(1,4)（C）(2,3)（D）(2,4)【解题指南】数形结合，分类讨论，结合几何特征，可以利用三角函数设出切点坐标，利用点差法可表示出半径，，再结合圆与抛物线的位置关系，可进一步确定半径范围。【解析】选D。当直线与x轴垂直的时候，满足条件的直线有且只有2条。当直线与x轴不垂直的时候，由对称性不妨设切点(5cos,rsin)(0),Mr则切线的斜率：cos,sinABk又M为AB中点，由点差法可求得，22,r,2.sincosABkrr所以由于点M在抛物线内，所以24,r4,yx将坐标代入可求得综上，24r二、解答题3.(2015·天津高考理科·T19)(本小题满分14分)已知椭圆22221xyab(ab0)的左焦点为F(-c,0),离心率为33,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=2b4错误!未找到引用源。截得的线段的长为c,|FM|=433错误!未找到引用源。.(1)求直线FM的斜率.(2)求椭圆的方程.(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于错误!未找到引用源。,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.【解题指南】(1)由椭圆知识先求出a,b,c的关系,设直线FM的方程为y=k(x+c),求出圆心到直线的距离,由勾股定理可求斜率k的值.(2)由(1)设椭圆方程为22221xyab,直线与椭圆方程联立,求出点M的坐标,由|FM|=错误!未找到引用源。可求出c,从而可求椭圆方程.(3)设出直线FP:y=t(x+1),与椭圆方程联立,求得t=错误!未找到引用源。22523(1)xx错误!未找到引用源。,求出x的范围,即可求直线OP的斜率的取值范围.【解析】(1)由已知有22ca=错误!未找到引用源。,又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.设直线FM的斜率为k(k0),则直线FM的方程为y=k(x+c).由已知,有221kck+2222cb,解得k=错误!未找到引用源。.(2)由(1)得椭圆方程为2222132xycc,直线FM的方程为33yxc两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-错误!未找到引用源。c,或x=c.因为点M在第一象限,可得M的坐标为(c,错误!未找到引用源。c).有222343()033FMccc解得c=1,所以椭圆的方程为22132xy.(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,得t=错误!未找到引用源。,即y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立22(1),1,32ytxxy消去y，整理得22223(1)6xtx.又由已知，得226223(1)xtx，解得-错误!未找到引用源。32x-1,或-1x0.设直线OP的斜率为m,得m=yx,即y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理可得m2=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。.①当x∈(-错误!未找到引用源。,-1)时,有y=t(x+1)0,因此m0,于是m=2223x,得m∈(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。).②当x∈(-1,0)时,有y=t(x+1)0,因此m0,于是m=-错误!未找到引用源。,得m∈(-∞,-错误!未找到引用源。).综上,直线OP的斜率的取值范围是(-∞,-错误!未找到引用源。)∪(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。).4.（2015·四川高考文科·T20)如图，椭圆:E22221xyab（ab0）的离心率是22，点(0,1)P在短轴CD上，且1PCPD（1）求椭圆E的方程;（2）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于,AB两点。是否存在常数，使得OAOBPAPB为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。CADBP【解题指南】(1)利用向量关系求出b，再利用离心率求出a（2）先假设存在。通过与,xy轴平行的两根特殊直线带入算出的值为1。再设任意直线1ykx，由韦达定理带入OAOBPAPB验证是否对于任意直线，1都满足题意。【解析】（1）由1PCPD知(1)(1)1bb，解得2b，再由离心率是22得到2,2ac；因此椭圆方程为22142xy（2）a)取过点P的直线为0x，此时(0,2),(0,2),(0,1)ABP;2OAOBPAPB;b)取过点P的直线为2y，此时(2,1),(2,1),(0,1)ABP；12OAOBPAPB;令212解得1.现设直线为1ykx，验证当1是否使得OAOBPAPB为定值.联立直线与椭圆得到22(12)440kxkx，22440k；设1122(,),(,)AxyBxy，由韦达定理知：12122242;;1212kxxxxkk121222()2;12yykxxk21212214(1)(1)12kyykxkxk。21212121212236(1)312kOAOBPAPBxxyyxxyyyyk。所以，存在常数1，使得OAOBPAPB为定值3。5.（2015·安徽高考文科·T20）设椭圆E的方程为22221(0),xyabab点O为坐标原点，点A的坐标为(,0)a,点B的坐标为（0，b）,点M在线段AB上，满足2,BMMA直线OM的斜率为510。（1）求E的离心率e;(2)设点C的坐标为（0，-b）,N为线段AC的中点，证明：MNAB。【解题指南】（1）由0510MK和椭圆的离心率公式求得。（2）通过向量的数量积.0ABNM得出MNAB。【解析】（1）由题意可知点M的坐标是21(,)33ab，又0510MK,所以5210ba，进而得225,2abcabb，故255cea。（2）由N是AC的中点可知，点N的坐标为(,)22ab，可得5(,)66abNM,又(,)ABab，从而2222151.,(5)666ABNMabba。由（1）的计算结果可知225ab，所以.0ABNM，故MNAB。6.（2015·安徽高考理科·T20）设椭圆E的方程为222210xyabab，点O为坐标原点，点A的坐标为0a，，点B的坐标为0b，，点M在线段AB上，满足2BMMA，直线OM的斜率为510.（I）求E的离心率e；（II）设点C的坐标为0b，，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为72，求E的方程.【解题指南】（1）由0510MK和椭圆的离心率公式求得。（2）根据点N关于直线AB的对称点S在直线AB上且.1NSABKK联立方程组求得b的值。【解析】（1）由题意可知点M的坐标是21(,)33ab，又0510MK,所以5210ba，进而得225,2abcabb，故255cea。（2）直线AB的方程为15xybb，点N的坐标为51(,)22bb，设点N关于直线AB的对称点S的坐标为17(,)2x，则NS的中点T的坐标为1517(,)4244xbb，又点T在直线AB上，且.1NSABKK，从而有115174244(1537122552xbbbbbbxb，所以35a，故椭圆的方程为221459xy7.(2015·北京高考理科·T19)(14分)已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为错误!未找到引用源。,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示).(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N,问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.【解题指南】(1)由点P可求得b2,再利用221cbeaa可求得a.写出直线PA方程,令y=0得M坐标.(2)把∠OQM=∠ONQ转化为tan∠OQM=tan∠ONQ.【解析】（1）椭圆22221(0)xyabab过(0,1)P，所以21b，离心率222111cbeaaa22，所以2a，所以椭圆方程为2212xy。因为(0,1)P，(,)Amn，所以直线PA的方程为11nyxm，直线PA与x轴交于M，令0y，则1Mmxn，所以(,0)1mMn。（2）因为(0,1),(,)PBmn，所以直线PB的方程为11nyxm，直线PB与x轴交于N，令0y，则1Nmxn，所以(,0)1mNn。设0(0,)Qy，001tan||||(1)mmnOQMyny，00(1)tan||||1yynONQmmn，因为OQMONQ，所以tantanOQMONQ，所以00(1)||||(1)ynmnym。所以222022212mmymn，所以02y。因此，存在点(0,2)Q，使OQMONQ。8.(2015·北京高考文科·T20)(14分)已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,AE与直线x=3交于点M.(1)求椭圆C的离心率.(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率.(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.【解题指南】(1)化成标准方程再求离心率.(2)表示出AE方程,求出点M坐标,再求BM的斜率.(3)由(2)可知BM∥DE,所以只需证明BM的斜率为1.【解析】(1)椭圆C化为标准方程22+y13x，则3,1,2abc，所以离心率2633e。.(2)由AB过点D(1,0)且垂直于x轴可得AB方程为x=1,设A(1,m),B(1,-m),AB方程与椭圆方程联立解得m2=23.AE方程为y-1=错误!未找到引用源。(x-2),令x=3得M(3,2-m).所以BM的斜率为(2)()131mm。(3)当AB斜率不存在时,DE的斜率为1,由(2)可知直线BM与直线DE斜率相等,所以BM∥DE.当AB斜率存在时,设AB:y=k(x-1)(k≠1),A(x1,y1),B(x2,y2).由错误!未找到引用源。消y得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0,Δ=36k4-4(1+3k2)(3k2-3)=12+24k20,22121222633,1313kkxxxxkk，直线AE方程：1111(2)2yyxx，令3x得1