高考数学一轮单元复习：第44讲 圆的方程

│圆的方程│知识梳理知识梳理1.圆的标准方程设圆的圆心坐标为A(a，b)，半径为r(其中a、b、r都是常数，r0)。设M(x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是P＝{|M||MA|＝r}，由两点间的距离公式写出点M适合的条件：，化简可得圆的标准方程：.特别地，当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为。2.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：即点在，点在，(x－a)2＋(y－b)2＝r(x－a)2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＝r2圆上圆内│知识梳理点在.(1)若点M1(x1，y1)在圆C上，则点M1到圆心C(a，b)的距离等于半径，所以有；(2)若点M1(x1，y1)在圆C外，则点M1到圆心C(a，b)的距离大于半径，所以有；(3)若点M1(x1，y1)在圆C内，则点M1到圆心C(a，b)的距离小于半径，所以有。判断点与圆的位置关系，就是判断点与圆心的距离d和半径r的大小关系。3.圆的一般方程圆的标准方程与一般方程的关系：圆外(x1－a)2＋(y1－b)2＝r2(x1－a)2＋(y1－b)2r2(x1－a)2＋(y1－b)2r2│知识梳理圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，展开后得到：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.令D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，则有x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.(1)配方后得到(2)①当时，方程①叫做圆的一般方程.其圆心为.半径为；②当D2＋E2－4F＝0时，方程①表示一个点；③当时，方程②无实数解，它不表示任何图形。D2＋E2－4F＞012D2＋E2－4F222214224DExyDEF,22DE,22DED2＋E2－4F＜0(3)一个二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件：①x2、y2的系数相等且不等于零，即A＝C≠0；②不含xy项，即B＝0；③。2240DEFAAA│知识梳理│要点探究要点探究►探究点1求圆的方程例1[2009·重庆卷]圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为()A.x2＋(y－2)2＝1B.x2＋(y＋2)2＝1C.(x－1)2＋(y－3)2＝1D.x2＋(y－3)2＝1│要点探究【思路】根据圆心在y轴上，设出圆心坐标，借助点(1，2)在圆上和半径为1这些条件，求得圆心即可。【解答】A方法一：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知(0－1)2＋(b－2)＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1。方法二：由作图根据点(1，2)到圆心的距离为1易知圆心为(0，2)，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1。【点评】求解圆的方程时要根据已知条件选择合适的形式，一般地，知道圆心和半径选择标准形式，否则，选择一般式。无论选择哪种形式都需要确定三个系数，所以应该根据条件建立三个独立的等式。另外，利用几何法，充分利用圆的有关几何性质也可以求解圆的方程。常用到圆的以下几个性质：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。下面变式题用到圆的相关性质：│要点探究│要点探究变式题(1)△ABC三个顶点分别为A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，5)，求其外接圆的方程；(2)圆C过点P(1，2)和Q(－2，3)，且圆C在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆C的方程。│要点探究【解答】(1)设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则由题意有解得故所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.(2)如图44－1所示，由于圆C在两坐标轴上所截弦长相等，即AD＝EG.5260228055500DEFDEFDEF4220DEF│要点探究所以它们的一半也相等，即AB＝GF.又AC＝GC，∴Rt△ABC≌Rt△GFC，∴BC＝FC.设C(a，b)，则|a|＝|b|，①又圆C过点P(1，2)和Q(－2，3)，∴圆心在PQ的垂直平分线上，即在y－52＝上，化简得y＝3x＋4，∴b＝3a＋4.②132x│要点探究由①知a＝±b，代入②得或∴r＝5或r＝5.故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋2)2＝25，即x2＋y2＋2x－2y－3＝0或x2＋y2＋4x＋4y－17＝0.11ab22ab│要点探究►探究点2圆的方程的应用例2[2009·上海卷]点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线段的中点轨迹方程是()A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4C.(x＋4)2＋(x－2)2＝4D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1【思路】点P是定点，动点在圆上，可用相关点代入法求解。│要点探究【解答】A设圆上任一点为Q(s，t)，PQ的中点为A(x，y)，则解得代入圆方程，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，整理，得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.4222sxty2422sxty【点评】相关点代入法是求解动点轨迹的基本方法，其关键是找出所求动点与已知动点之间的关系，从而用已知动点的坐标表示所求动点的坐标，采取代入已知动点所在曲线的方式求得所求动点横纵坐标之间的关系.圆的方程的应用广泛，考查形式多样，范围、定值、最值问题也是常考考点，如下面变式题：│要点探究│要点探究变式题[2008·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为C。(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论。│要点探究【解答】(1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ＞0，解得b＜1，且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.【思路】(1)二次函数图象与x轴有两个交点，与y轴的交点中b≠0，(2)设圆的一般方程用待定系数法，(3)含b的两项为一组，并提取b，不含b的为另一组，用恒等式求.│要点探究令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1.所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圆C必过定点，证明如下：假设圆C过定点(x0，y0)，(x0，y0不依赖于b)将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为①为使①式对所有满足b1(b≠0)的b都成立，必须有1－y0＝0，结合①式得，解得或经检验知，点（0,1）,（-2,1）均在圆C上，因此圆C过定点。2200000210xyxyby0001xy22000020xyxy0021xy│要点探究►探究点3与圆有关的最值问题例3已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值。│要点探究【思路】方程x2＋y2－4x＋1＝0表示圆心为(2，0)，半径为的圆；的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，y－x可看做直线y＝x＋b在y轴上的截距，x2＋y2是圆上一点与原点距离的平方，可借助于平面几何知识，利用数形结合求解.【解答】(1)原方程化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2，0)为圆心，以3为半径的圆，设yx＝k，即y＝kx，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解之得k＝±3，故yx的最大值为3，最小值为－3.3yx│要点探究(2)设y－x＝b，即y＝x＋b，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时|2－0＋b|2＝3，即b＝－2±6.故y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.(3)x2＋y2表示圆上点与原点距离的平方，由平面几何知识和它在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max[＝(2＋3)2＝7＋43，(x2＋y2)min＝(2－3)2＝7－43.【点评】涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解。一般的：(1)形如μ＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题等.│要点探究ybxa│要点探究变式题已知点P(x，y)是圆C：(x＋2)2＋y2＝1上任意一点。(1)求P点到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值；(2)求x－2y的最大值和最小值；(3)求y－2x－1的最大值和最小值。│要点探究【解答】(1)圆心C(－2，0)到直线3x＋4y＋12＝0的距离为d＝|3×(－2)＋4×0＋12|32＋42＝65，∴P点到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值为d＋r＝65＋1＝115，最小值为d－r＝65－1＝15.(2)设t＝x－2y，则直线x－2y－t＝0与圆(x＋2)2＋y＝1有公共点.∴|－2－t|12＋22≤1，∴－5－2≤t≤5－2，│要点探究∴tmax＝5－2，tmin＝－2－5.(3)设k＝y－2x－1，则直线kx－y－k＋2＝0与圆(x＋2)2＋y2＝1有公共点.∴|－3k＋2|k2＋1≤1，∴3－34≤k≤3＋34.∴kmax＝3＋34，kmin＝3－34.│规律总结规律总结1.求圆的方程最基本的方法是待定系数法，需要三个独立的方程.已知圆上三点坐标设一般方程较方便；已知半径或圆心，用标准方程较方便；2.如果题目与弦长有关，可以解由弦心距、半径、弦的一半构成的直角三角形，且比较方便易用.还可以直接代入弦长公式求解弦长问题；│规律总结3.求最值问题时特殊情况下可以结合圆的性质利用数形结合来解决；当图形关系不明显时，往往用函数观点来解决，即根据已知条件列出相关函数，然后求函数在某些条件限制下的值域。