高考数学一轮单元复习：第51讲 随机抽样

│随机抽样│知识梳理知识梳理1.在统计里，我们把所有考察对象的全体叫总体，其中总体中每一个考察的对象叫个体，从总体中抽取的部分个体叫一个样本，样本中包含个体的数目叫做样本.2.一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做抽样.两种常见的实施简单随机抽样的办法是：抽签法和随机数表法.3.当总体中的个体数较多时，将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，容量简单随机│知识梳理得到所需要的样本，这样的抽样叫做抽样.系统抽样的操作步骤：第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号；第二步，将总体的编号分段，要确定分段间隔k，当Nn是整数时，k＝Nn；当Nn不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数N′能被n整除，这时k＝N′n；第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号l，再按事先确定的规则抽取样本通常是将l加上间隔k得到第2个编号(l＋k)，将(l＋k)加上k，得到第3个编号(l＋2k)，这样继续下去，直到获取整个样本(注：这是个常用方法，但不是唯一的方法).系统│知识梳理4.在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫抽样.分层抽样的操作步骤：第一步，确定样本容量与总体个数的比；第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步，将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本.5.三种抽样方法的区别与联系：分层│知识梳理类别简单随机抽样系统抽样分层抽样共同点抽样过程中每个个体被抽到的机会均等，不放回抽样各自特点从总体中逐个抽取将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取将总体分成n层，分层进行抽取相互联系在起始部分抽样时采用简单随时抽样各层抽样采用简单随机抽样或系统抽样适用范围总体中个体数较少总体中个体数较多总体由差异明显的几部分组成│要点探究要点探究►探究点1简单随机抽样例1在1000个有机会中奖的号码(编号为000～999)中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确定后两位数为88的号码为第一次中奖号码，再从这些中奖号码中抽取一个二次中奖号码，则在这两次抽样中运用的抽样方法分别是()A.简单随机抽样、系统抽样B.系统抽样、简单随机抽样C.系统抽样、分层抽样D.以上均不对│要点探究【解析】B抽取第一次中奖号码时运用了系统抽样的方法来确定中奖号码，中奖号码依次为：088，188，288，388，488，588，688，788，888，988；抽取第二次中奖号码时总数只有10个号码，总体个数较少，采用简单随机抽样.【点评】简单随机抽样和系统抽样有时容易混淆，在简单随机抽样中每个个体是否被抽到是完全随机的，在系统抽样中虽然每个个体是否被抽到是随机的，但只要第一个个体被确定了，按照规则其余的个体也就被确定了，这是简单随机抽样和系统抽样的区别.│要点探究│要点探究变式题从已编号(600～999)的总体中抽取一个容量为10的样本进行质量检验，若用随机数表法，怎样设计方案？【解答】S1在随机数表中任选一个数作为开始，任选一方向作为读数方向，比如选第7行第3个数“4”，向右读；S2从数“4”开始，向右读，每次取三位，凡不在600～999中的数跳过去不读.前面已经读过的也跳过去不读.依次可得753，724，688，770，721，763，676，630，785，916；S3以上号码对应的10个零件就是要抽取的对象.│要点探究►探究点2系统抽样例2[2009·广东卷]某单位200名职工的年龄分布情况如图49－1所示，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号).若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________.若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人.│要点探究【思路】按照系统抽样的等距性找第8组抽出的号码，按照分层抽样的比例计算40岁以下年龄段应抽取的人数.【解析】由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.40岁以下年龄段的职工数为200×0.5＝100，则应抽取的人数为40200×100＝20人.【答案】3720【点评】本题的系统抽样规则为等距离抽样，所抽出个体是等间距的，如本题中就是以第一组抽出号码2按照5的间距等距离抽出的，即抽出的所有号码为2＋5k(k＝0，1，…，39)；分层抽样是按比例抽样，某层在总体中占有多大的比例，就在该层中抽出多大比例的样本，扇形统计图就是表示这种比例关系的一个统计图.值得特别注意的是并不是所有系统抽样都是等距离抽样，这要看给出的抽样规则.│要点探究│要点探究变式题一个总体中的1000个个体编号为0，1，2，…，999，并依次将其分为10个小组，组号为0，1，2，…，9，要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，则第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数.当x＝24时，所抽取样本的10个号码是__________________，若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，则x的取值集合是__________________________________.│要点探究【思路】根据给出的系统抽样规则，进行具体计算，注意第k组的首位数字为k，给出的规则只是确定各组的后两位数字的．【答案】24，157，290，323，456，589，622，755，888，92、21，22，23，54，55，56，87，88，89，90│要点探究【解析】当x＝24时，按规则可知所抽取的样本的10个号码依次为：24，157，290，323，456，589，622，755，888，921；当k＝0，1，2，…，9时，33k的值依次为0，33，66，99，132，165，198，231，264，297；又抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，从而x可以为87，54，21，88，55，22，89，56，23，90，所以x的取值集合是{21，22，23，54，55，56，87，88，89，90}│要点探究►探究点3分层抽样例3一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4∶1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲被抽到的概率为128，则总体中的个体数是________.【思路】计算出B层中抽取的样本数，通过B层中甲被抽到的概率值，计算出B层中的人数，即可计算总体中的个体数.【答案】40│要点探究【解析】由条件易知B层中抽取的样本数是2，设B层总体数是n，则又由B层中甲、乙都被抽到的概率是C22C2n＝128，可得n＝8，所以总体中的个数是4×8＋8＝40.【点评】本题把分层抽样方法和等可能性事件的概率计算结合起来，重在考查考生对基础知识的掌握程度和分析问题、解决问题的能力，试题最后落脚在方程上，是一道既考查知识、又考查数学思想且考查分析解决问题能力的优秀试题．│要点探究变式题[2009·陕西卷]某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为()A.9B.18C.27D.36│要点探究【思路】计算出老年职工的人数，根据青年职工被抽取的比例，对老年职工进行抽取，抽取的人数即是本题的答案.【解答】B中年职工和老年职工共有430－160＝270人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，所以老年职工是×270＝90人；抽取的样本中有青年职工32人，可以知道是5个人中抽取一个，故老年职工要抽取18人.正确选项是B.13│要点探究►探究点4三种抽样方法的综合应用例4①教育局督学组到学校检查工作，需在高三年级的学号为001～800的学生中抽调20人参加关于学校管理的综合座谈；②该校高三年级这800名学生期中考试的数学成绩有160人在120分以上(包括120分)，480人在120以下90分以上(包括90分)，其余的在90分以下，现欲从中抽出20人研讨进一步改进数学教和学的座谈；③该校高三年级这800名学生参加2009年元旦聚会，要产生20名“幸运之星”.对以上三件事，合适的抽样方法依次为()│要点探究A.系统抽样，分层抽样，系统抽样B.系统抽样，系统抽样，简单随机抽样C.分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样D.系统抽样，分层抽样，简单随机抽样【思路】按照抽样方法的定义和其适合的具体环境，结合问题的实际意义，选取合理的抽样方法.│要点探究【解析】D参加学校管理的综合座谈采用系统抽样较好，具有代表性；研究数学教与学的问题采用分层抽样较为合适，这样可以使研究更能反映不同层次的学生；“幸运之星”就不能再用系统抽样，那样就不具有“幸运”之意了，合适的抽样方法就是用简单随机抽样，以体现“幸运”之意.正确选项D.【点评】抽样方法是统计问题的基础，三种抽样方法各有其使用环境，在解题时要结合问题的具体环境决定采用的方法，不要死抠定义，如本题中“幸运之星”的产生，要是按照定义用系统抽样更符合抽样的道理，但这样就失去了幸运之意.│要点探究变式题在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本，有以下三种抽样方法：①采用简单随机抽样法，将零件编号为00，01，…，99，抽签取出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组随机抽取1个；③采用分层抽样法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个.则下述判断中正确的是()│要点探究A.不论采用何种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的可能性均为15B.①、②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的可能性均为15；③并非如此C.①、③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的可能性均为15；②并非如此D.采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的可能性是各不相同的│要点探究【思路】无论哪种抽样都是等概率抽样.【解答】A三种抽样方法的特点就是保证了每个个体从总体中抽到的可能性都相同，保证了公平性.正确选项A.│规律总结规律总结1.随机抽样的方法和使用环境：随机抽样的方法有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，简单随机抽样适用于总体中个体数量不多的情况，当总体中个数的数量较多时要使用系统抽样，当总体中的个体具有几个明显的层次时使用分层抽样.在判断从总体中抽取样本所使用的方法时要根据问题的实际情况进行分析，选取合适的抽样方法.2.三种抽样都是等概率抽样：抽样就是从总体中抽取一个样本，目的是为了用这个样本对总体作出估计，因此抽样中各个个体被抽到的概率必须相等.│规律总结3.注意计算方法：抽样中伴随着相关的计算，特别是在分层抽样和系统抽样中，要注意其中的计算方法.分层抽样是按比例抽样，比例的性质、方程的方法起主要作用；系统抽样首先是对总体分段的计算，注意分段时可能要排除一些个体，各个段的间隔距离是一样的，但各个段中抽取的个体就有不同的规则，要根据这些规则通过计算确定抽取的个体，注意抽样规则的运用.