2016_2017年高中数学第三章三角恒等变换专题整合课件

第3章三角恒等变换三角函数的化简三角函数的化简是三角变换应用的一个重要方面，其基本思想是统一角、统一三角函数的名称，在具体实施过程中，应着重抓住角的统一，通过观察角、函数名、项的次数等，找到突然口．利用切化弦、升幂、降幂、逆用或变用公式手段将其化简，最后结果为：(1)能求值的尽量求值；(2)三角函数名称尽量少；(3)项数尽量少；(4)次数尽量低；(5)分母、根号内尽量不含三角函数．求值：2sin50°＋cos10°（1＋3tan10°）1＋cos10°.[分析]先对分子进行切化弦，然后通分后利用两角和与差的三角公式整理化简，分母利用二倍角公式升幂后去掉根号．[解]原式＝2sin50°＋cos10°（1＋3sin10°cos10°）2cos25°＝2sin50°＋cos10°（cos10°＋3sin10°cos10°）2cos5°＝2sin50°＋2（12cos10°＋32sin10°）2cos5°＝2cos40°＋2sin40°2cos5°＝22sin（40°＋45°）2cos5°＝2sin85°cos5°＝2.[点评]给角化简的解题规律是恰当地运用诱导公式，合理地进行角的变换，运用和角公式、二倍角公式、积化和差与和差化积公式、万能代换公式和半角公式，使其转化为特殊角的三角函数值的求解问题．给角求值中要注意当角较大时，应先利用诱导公式，这样能使角之间的关系更明确，这也是给角求值的技巧之一．技巧之二是进行角变换，将其中一个角用另两个角(已知角或特殊角)表示出来，减少未知角的个数．三角函数求值三角函数求值主要有三类题型：给角求值、给值求值和给值求角．(1)给角求值一般是利用和差角公式和倍角公式进行变换，使其出现特殊角，若无特殊角则应寻找已知或约分的情况，从而求出其值．(2)给值求值一般应化简所求的式子，弄清实际所求，或变化已知的式子，寻找已知与所求的联系，再求值．(3)给值求角一般是先求出所求角的某种三角函数值，然后确定所求角的范围．结合三角函数值和角的范围确定角的大小．已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tanα2＝1－tan2α2，求α＋β的值．[分析]本题主要考查三角函数式的恒等变形及已知三角函数值求角，因为2α＋β＝α＋(α＋β)，β＝(α＋β)－α，可先将条件式3sinβ＝sin(2α＋β)展开后求α＋β的正切值．[解]∵3sinβ＝sin(2α＋β)，即3sin(α＋β－α)＝sin(α＋β＋α)，整理得2sin(α＋β)cosα＝4cos(α＋β)sinα.即tan(α＋β)＝2tanα.又∵4tanα2＝1－tan2α2，∴tanα＝2tanα21－tan2α2＝12，tan(α＋β)＝2tanα＝2×12＝1.∵α＋β∈(0，π2)，∴α＋β＝π4.[点评](1)给值求角实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角．把所求的角用含已知其值的角的式子表示，即先求出该角的某一个三角函数值，由所求的函数值结合该函数的单调区间求得角，但不要忽视对所求角范围的讨论．(2)对于通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键是对角的范围进行讨论．注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求角的哪一种函数值，往往有一定的规律．若α∈(0，π)，则求cosα，若α∈(－π2，π2)，则求sinα等．三角恒等式的证明三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更命题等方法，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．已知tan2θ＝2tan2φ＋1，求证：cos2φ＝2cos2θ＋1.[分析]由已知入手，可利用不同的三角函数公式进行化简，得到不同的方法．[证明]法一：∵tan2θ＝2tan2φ＋1，∴tan2θ＋1＝2(tan2φ＋1)，sin2θ＋cos2θcos2θ＝2·sin2φ＋cos2φcos2φ，即11＋cos2θ2＝21＋cos2φ2，∴cos2φ＝2cos2θ＋1.法二：cos2φ＝2cos2θ＋1⇔2cos2φ－1＝2(2cos2θ－1)＋1⇔cos2φ＝2cos2θ⇔1cos2θ＝2cos2φ⇔sin2θ＋cos2θcos2θ＝2（sin2φ＋cos2φ）cos2φ⇔tan2θ＋1＝2(tan2φ＋1)⇔tan2θ＝2tan2φ＋1.而由已知，tan2θ＝2tan2φ＋1成立，∴cos2φ＝2cos2θ＋1.法三：∵tan2θ＝2tan2φ＋1，∴2cos2θ＋1＝2·1－tan2θ1＋tan2θ＋1＝2·1－2tan2φ－11＋2tan2φ＋1＋1＝1－tan2φ1＋tan2φ＝cos2φ.∴2cos2θ＋1＝cos2φ.[点评]三角恒等式可分为无条件三角恒等式和条件三角恒等式两类．其证明思路与代数恒等式类同，证明的实质是进行恒等变换消去差异，达到形式上的统一．无条件三角恒等式的证明方法主要有以下几种：左右相推法，左右归一法，变更问题法，分析法，综合法及分析综合法．与三角形有关的三角函数问题这是一类将三角形的有关知识(如内角和为180°，大边对大角，两边之和大于第三边，直角三角形中的边角关系等)与三角变换紧密联系在一起的问题，需综合运用这两方面的知识解题．在△ABC中，A，B为锐角，且cos2A＝35，sinB＝1010.求角C的大小．[分析]由已知条件先求出A＋B，再根据内角和定理求C.[解]∵A为锐角，cos2A＝35.∴cos2A＝1－2sin2A＝35，∴sinA＝55.cosA＝1－sin2A＝255，又B为锐角，sinB＝1010，∴cosB＝1－sin2B＝31010.∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝255×31010－55×1010＝22.∵0A＋Bπ，∴A＋B＝π4，∴C＝π－(A＋B)＝3π4，即角C的大小为3π4.[点评]利用三角公式可以解决一些与三角形有关的问题.三角恒等变换的综合利用三角恒等变换的基本规律：①基本方向是变角、变函数、变结构；②基本技巧是弦切互化，异名化同名，异角化同角(角分析法)；升幂或降幂，分式通分，无理化有理，常数的处理(如1的代换)；变量集中(引进辅助角)，如acosθ＋bsinθ＝a2＋b2sin(θ＋φ)(φ为辅助角)；③基本目标是复角化单角，异名化同名，转换运算形式试着相约或相消，达到项数尽量少，种类(名称)尽量少，次数尽量低，分母中尽量不含三角函数，尽可能不带根号，能求出值的求出值来，绝对值要讨论．已知函数f(x)＝cos(2x－π3)＋2sin(x－π4)sin(x＋π4)．(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)求函数f(x)在区间[－π12，π2]上的值域．[分析]利用和差角公式和倍角公式，将所给三角代数式化为f(x)＝asinωx＋bcosωx＋c的形式，进而化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，然后研究其性质(如单调性、周期性、奇偶性、对称性和最值等)[解](1)∵f(x)＝cos(2x－π3)＋2sin(x－π4)sin(x＋π4)＝12cos2x＋32sin2x＋(sinx－cosx)(sinx＋cosx)＝12cos2x＋32sin2x＋sin2x－cos2x＝12cos2x＋32sin2x－cos2x＝sin(2x－π6)．∴最小正周期T＝2π2＝π.∵2x－π6＝kπ＋π2，k∈Z.∴x＝kπ2＋π3，k∈Z.∴图象的对称轴方程为x＝kπ2＋π3，k∈Z.(2)∵x∈[－π12，π2]，∴2x－π6∈[－π3，5π6]．∵f(x)＝sin(2x－π6)在区间[－π12，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减．∴当x＝π3时，f(x)取最大值1.又∵f(－π12)＝－32f(π2)＝12，∴当x＝－π12时，f(x)取最小值－32.所以函数f(x)在区间[－π12，π2]上的值域为[－32，1]．[点评]解答此类综合题的关键是利用三角函数的和、差、倍、半角公式化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后借助于三角函数的图象及性质去研究f(x)的相应性质，解答过程中一定要注意公式的合理应用，以免错用公式，导致化简失误．