2018届高三数学(人教A版)一轮复习： 第3章 第6节 正弦定理和余弦定理

上一页返回首页下一页高三一轮总复习第六节正弦定理和余弦定理[考纲传真]掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．课时分层训练抓基础·自主学习明考向·题型突破上一页返回首页下一页高三一轮总复习定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2R.(R为△ABC外接圆半径)a2＝；b2＝；c2＝b2＋c2－2bc·cosAc2＋a2－2ca·cosBa2＋b2－2ab·cosC上一页返回首页下一页高三一轮总复习变形形式(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(3)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2RcosA＝；cosB＝____________；cosC＝____________b2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab上一页返回首页下一页高三一轮总复习解决问题(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角上一页返回首页下一页高三一轮总复习2.三角形常用面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝12absinC＝＝.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．12acsinB12bcsinA上一页返回首页下一页高三一轮总复习1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，若A＞B，则必有sinA＞sinB.()(2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC为锐角三角形．()(3)在△ABC中，若A＝60°，a＝43，b＝42，则B＝45°或135°.()(4)在△ABC中，asinA＝a＋b－csinA＋sinB－sinC.()上一页返回首页下一页高三一轮总复习[解析](1)正确．A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.(2)错误．由cosA＝b2＋c2－a22bc＞0知，A为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形．(3)错误．由b＜a知，B＜A.(4)正确．利用a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，可知结论正确．[答案](1)√(2)×(3)×(4)√上一页返回首页下一页高三一轮总复习2．(教材改编)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B.直角三角形C．钝角三角形D.不能确定C[由正弦定理，得a2R＝sinA，b2R＝sinB，c2R＝sinC，代入得到a2＋b2＜c2，由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＜0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形．]上一页返回首页下一页高三一轮总复习3．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，c＝2，cosA＝23，则b＝()A.2B.3C.2D.3D[由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×23，解得b＝3或b＝－13(舍去)，故选D.]上一页返回首页下一页高三一轮总复习4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝π6，a＝1，b＝3，则B＝________.π3或2π3[由正弦定理asinA＝bsinB，代入可求得sinB＝32，故B＝π3或B＝2π3.]上一页返回首页下一页高三一轮总复习5．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________．23[由题意及余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝c2＋16－122×4×c＝12，解得c＝2，所以S＝12bcsinA＝12×4×2×sin60°＝23.]上一页返回首页下一页高三一轮总复习利用正、余弦定理解三角形在△ABC中，∠BAC＝3π4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．【导学号：01772129】上一页返回首页下一页高三一轮总复习[解]设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(32)2＋62－2×32×6×cos3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝310.6分又由正弦定理得sinB＝bsin∠BACa＝3310＝1010，上一页返回首页下一页高三一轮总复习由题设知0＜B＜π4，所以cosB＝1－sin2B＝1－110＝31010.9分在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得AD＝AB·sinBsinπ－2B＝6sinB2sinBcosB＝3cosB＝10.12分上一页返回首页下一页高三一轮总复习[规律方法]1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．上一页返回首页下一页高三一轮总复习[变式训练1](1)(2017·郑州模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sinB＋sinC)＝(a－3c)sinA，则角B的大小为()A．30°B.45°C.60°D.120°(2)(2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝45，cosC＝513，a＝1，则b＝________.上一页返回首页下一页高三一轮总复习(1)A(2)2113[(1)由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC及(b－c)·(sinB＋sinC)＝(a－3c)sinA得(b－c)(b＋c)＝(a－3c)a，即b2－c2＝a2－3ac，∴a2＋c2－b2＝3ac.又∵cosB＝a2＋c2－b22ac，∴cosB＝32，∴B＝30°.上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)在△ABC中，∵cosA＝45，cosC＝513，∴sinA＝35，sinC＝1213，∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝35×513＋45×1213＝6365.又∵asinA＝bsinB，∴b＝asinBsinA＝1×636535＝2113.]上一页返回首页下一页高三一轮总复习判断三角形的形状(1)(2017·东北三省四市二联)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足acosA＝bcosB，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)(2016·安徽安庆二模)设角A，B，C是△ABC的三个内角，则“A＋B＜C”是“△ABC是钝角三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件上一页返回首页下一页高三一轮总复习(1)D(2)A[(1)因为acosA＝bcosB，由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝π2，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.(2)由A＋B＋C＝π，A＋B＜C，可得C＞π2，故三角形ABC为钝角三角形，反之不成立．故选A.]上一页返回首页下一页高三一轮总复习[规律方法]1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．上一页返回首页下一页高三一轮总复习[变式训练2]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是()A．直角三角形B.等腰三角形C．等腰直角三角形D.等边三角形B[法一：由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)＝0，因为－π＜A－B＜π，所以A＝B.法二：由正弦定理得2acosB＝c，再由余弦定理得2a·a2＋c2－b22ac＝c⇒a2＝b2⇒a＝b.]上一页返回首页下一页高三一轮总复习与三角形面积有关的问题(2015·全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC.(1)若a＝b，求cosB；(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积．上一页返回首页下一页高三一轮总复习[解](1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.2分又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cosB＝a2＋c2－b22ac＝14.5分(2)由(1)知b2＝2ac.7分因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝2.9分所以△ABC的面积为12×2×2＝1.12分上一页返回首页下一页高三一轮总复习[规律方法]三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．上一页返回首页下一页高三一轮总复习[变式训练3](2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．上一页返回首页下一页高三一轮总复习[解](1)由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，即2cosCsin(A＋B)＝sinC，3分故2sinCcosC＝sinC.可得cosC＝12，所以C＝π3.5分上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)由已知得12absinC＝332.又C＝π3，所以ab＝6.9分由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋7.12分上一页返回首页下一页高三一轮总复习[思想与方法]1．在解三角形时，应熟练运用内角和定理：A＋B＋C＝π，A2＋B2＋C2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．3．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.上一页返回首页下一页高三一轮总复习[易错与防范]1．已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其它边或角．可能有一解、两解、无解．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：上一页返回首页下一页高三一轮总复习A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解2.在判定三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，以免漏解．上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练（二十二）点击图标进入…