圆锥曲线定点定值定直线问题

[圆锥曲线定点定值定直线问题]第1页共20页一、【定点问题－－－曲线（含直线）过定点问题】：法1：特值法－－通过特例（参数取殊值、曲线的特殊位置、极限位置）探求出定点，再证明.法2：参数法－－把曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，另一端按参数进行整理，如0),(),(),(2yxhtyxgtyxf，这个方程就要对任意参数t恒成立，则方程组0),(0),(0),(yxhyxgyxf解所确定的点为曲线所过的定点．例1：试证明：直线0)15()1()2(:tytxtl过定点.证明：法1（特值法）：令0t得：012yx，令1t得：063x，由012063yxx得：32yx；当3,2yx时，方程左边0)15(3)1(2)2(ttt右边，直线l过定点)3,2(.法2（参数法）由0)15()1()2(tytxt得：0)12()5(yxtyx01205yxyx解得：32yx；直线l过定点)3,2(.例2:已知椭圆2222:10xyCabab的左右焦点分别为12,FF，椭圆C过点)22,1(P，直线1PF交y轴于Q，且22,PFQOO为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作出直线,MAMB交椭圆于,AB两点，设这两条直线的斜率分别为12,kk，且122kk，证明：直线AB过定点．（1）解：22PFQO，212PFFF，1c，122ba，221121ab，解得221,2ba，椭圆方程为2212xy(2)证明：设AB方程为ykxb，代入椭圆方程得：22212102kxkbxb22221,1122ABABkbbxxxxkk11,ABMAMBAByykkxx，∴112ABABABABMAMBABAByxxyxxyykkxxxx，2211212)1(2))(1(2)()()(222kbkkbbkxxxxbkxxxxbkxxxbkxBABABABABABA，∴1kb代入ykxb得：1ykxk即0)1()1(yxk∴直线AB必过定点1,1．[圆锥曲线定点定值定直线问题]第2页共20页【练习】：1.(17课标1理20)已知椭圆2222:10xyCabab，四点)23,1(),23,1(),1,0(),1,1(4321PPPP中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.2.已知点P是椭圆C上任一点，点P到直线1:2lx的距离为1d，到点(1,0)F的距离为2d，且2122dd.直线l与椭圆C交于不同两点AB、（,AB都在x轴上方），且180OFAOFB.（1）求椭圆C的方程；（2）当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程；（3）对于动直线l，是否存在一个定点，无论OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.3.（成都七中17-18高二上期中考）已知斜率为k的直线l经过点1,0与抛物线2:2Cypx（0,pp为常数）交于不同的两点,MN，当12k时，弦MN的长为415.（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M的直线交抛物线于另一点Q，且直线MQ经过点1,1B，判断直线NQ是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.4.(16广州模拟)椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,左顶点为A,左焦点为120F，，点2B2,在椭圆C上,直线0ykxk与椭圆C交于E,F两点,直线AE,AF分别与y轴交于点M,N．(1)求椭圆C的方程;(2)以MN为直径的圆是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.[圆锥曲线定点定值定直线问题]第3页共20页5.(17南昌摸底)椭圆2222:1(0)xyCabab短轴的一个端点与其两个焦点构成面积为3的直角三角形.(1)求椭圆C的方程;（2）过圆22:2Exy上任意一点P作圆E的切线l，l与椭圆C交于,AB两点，以AB为直径的圆是否过定点，如过，求出该定点；不过说明理由.6.(15四川理20)如图，椭圆E：2222+1(0)xyabab的离心率是22，过点P（0,1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行与x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为22.(1)求椭圆E的方程；(2)在平面直角坐标系xOy中,是否存在与点P不同的定点Q,使得QAPAQBPB恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.[圆锥曲线定点定值定直线问题]第4页共20页7.已知平面上的动点),(yxR及两定点)0,2(),0,2(BA，直线RBRA,的斜率分别为21,kk，且4321kk.（1）设动点R的轨迹为曲线C.求曲线C的方程；(2)四边形MNPQ的四个顶点均在曲线C上,且MQ∥NP,MQ⊥x轴,若直线MN和直线QP交于)0,4(S.问：四边形MNPQ两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【练习答案】1.解:(1)由于3P,4P两点关于y轴对称,故由题设知C经过3P,4P.又由222211134abab知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此222111314bab，解得2241ab.故C的方程为2214xy.(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，若l与x轴垂直，设txl:，由题设知：20tt且，可得A，B的坐标分别为)24,(),24,(22tttt.则1)224(2242221ttttkk，解得：2t，不符合题意.从而可设)1(:mmkxyl，代入2214xy得：222(41)8440kxkmxm，由题设知22=16(41)0km.设),(),,(2211yxByxA，则21xx=2841kmk，21xx=224441mk.而12121211yykkxx121211kxmkxmxx1212122(1)()kxxmxxxx.由题设121kk，故1212(21)(1)()0kxxmxx.即222448(21)(1)04141mkmkmkk.解得12mk.当且仅当1m时,0，:l12myxm，即11(2)2myx，l过定点)1,2([圆锥曲线定点定值定直线问题]第5页共20页2.解：（1）设(,)Pxy，则1|2|dx，222(1)dxy，∴2221(1)2|2|2xyddx，化简，得2212xy，∴椭圆C的方程为2212xy.（2）(0,1)A，(1,0)F，∴1010(1)AFk，又∵180OFAOFB，∴1BFk，:1(1)1BFyxx.代入2212xy，解得0,1xy(舍去)或4,31,3xy∴41(,)33B，1113420()3ABk，∴直线l方程为112yx.（3）∵180OFAOFB，∴0AFBFkk.设),(),,(2211yxByxA，l的方程为ykxb.代入2212xy，得2221()2102kxkbxb.∴122212kbxxk，2122112bxxk，∴121212121111AFBFyykxbkxbkkxxxx=122112()(1)()(1)0(1)(1)kxbxkxbxxx，∴12211212()(1)()(1)2()()2kxbxkxbxkxxkbxxb222122()201122bkbkkbbkk∴20bk，∴直线l的方程为(2)ykx，∴直线l总经过定点(2,0)M.3.解：（1）当12k时，l的方程为)1(21xy，即12yx，设),(),,(2211yxNyxM，由1222yxpxy得：0242ppyy，则pyypyy242121，由15441111212212122yyyykyykMN得：154244412pp，解得：2p抛物线C的标准方程为xy42(2)由(1)可设2221122,2,,2,,2MttNttQtt，则12211222=MNttktttt，则11:220MNxttytt；同理：22:220MQxttytt；1212:220NQxttytt.由1,0在直线MN上得：11tt)1(；由1,1在直线MQ上得：02222tttt)2([圆锥曲线定点定值定直线问题]第6页共20页将(1)代入(2)上得：1)(22121tttt)3(,将(3)代入NQ方程得：02)(4)(22121ttyttx，即0)4)(()22(21yttx,可得出直线NQ过定点1,4．4.解:(1)设椭圆C的方程为22221(0)xyabab，因为椭圆的左焦点为120F，，所以224ab…①因为点22B,在椭圆C上，所以22421ab…②．由①②解得，22a，2b．所以椭圆C的方程为22184xy．(3)由已知得：)0,22(A,E、F关于原点对称，设)0)(,(000xyxE不妨设，则),(00yxF.由14822yxkxy得：22218kx202122kx,202122kky直线AE的方程为：2211)22(kxky令0x得222112kyk，即点2220,112kMk．同理可得点2220,112kNk．22222122222112112kkkMNkkk．设MN的中点为P，则点P的坐标为20,Pk．则以MN为直径的圆的方程为222xyk22212kk，即22224xyyk．令0y,得24x,即2x或2x.故以MN为直径的圆经过两定点12,0P，22,0P．5.解:（1）因为椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以bc=2132Sa,6,3ab故椭圆C的方程为22163xy+=，（2）圆E的方程为222xy+=,设O为坐标原点当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为2x=，则(2,2),(2,2)AB-，所以2AOB，所以AB为直径的圆过坐标原点当直线l的斜率存在时,设其方程为ykxm=+,设()()1122,,,AxyBxy,由l与圆E相切得:222211mmdkk===++2222km由22163xyykxm得222()6xkxm++=,即222(12)4260kxkmxm+++-=,2222222164(12)(26)8(63)8(41)0kmkmkmkD=-+-=-+=+,且12221224122612kmxxkmxxk，[圆锥曲线定点定值定直线问题]第7页共20页xyPAB'F2F1OB1BQ22222221212121222(1)(26)4(1)()1212kmkmxxyykxxkmxxmmkk