圆锥曲线测试题二含详解

试卷第1页，总2页一、单选题1．椭圆的两个焦点分别为、，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．2．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则()A．6B．7C．5D．83．(2016·三明模拟)设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为()A．30B．25C．24D．404．设椭圆的短轴长为，离心率为.则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．5．在平面直角坐标系中，经过点且离心率为的双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．6．直线经过椭圆的一个短轴顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A．B．C．D．7．如图，已知是双曲线的左、右焦点，若直线与双曲线交于两点，且四边形是矩形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．已知，是双曲线的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则E的离心率为（）A．B．C．D．29．已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（）A．虚轴长为4B．焦距为试卷第2页，总2页C．离心率为D．渐近线方程为10．时，双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则抛物线的准线方程是A．B．C．D．11．椭圆与双曲线有相同的焦点，点是椭圆与双曲线的一个交点，则的面积是（）A．4B．2C．1D．12．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线216yx的准线交于,AB两点，43AB，则C的实轴长为（）A．8B．4C．22D．213．如图所示，过抛物线的焦点的直线，交抛物线于点．交其准线于点，若,且，则此抛物线的方程为（）A．B．C．D．14．抛物线的焦点坐标为A．B．C．D．15．已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件三、填空题21．已知命题，命题，若为真命题，则实数的取值范围为_______________．二、解答题20．（本小题满分12分）椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，右焦点F的坐标为（2，0），且点F到短轴的一个端点的距离是．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F作斜率为k的直线l，与椭圆C交于A、B两点，若·＞－，求k的取值范围．17．已知椭圆：（）的离心率，且右焦点为．斜率为的直线与椭圆交于、两点，以为底边作等腰三角形，顶点为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求的面积．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第1页，总14页参考答案1．B【解析】【分析】由焦点坐标，可知椭圆的焦点在x轴上，且c=8，再根据椭圆的定义得到a=10，进而求得b，即可得椭圆的方程.【详解】已知两个焦点的坐标分别是F1（-8，0），F2（8，0），可知椭圆的焦点在x轴上，且c=8，由椭圆的定义可得：2a=20，即a=10，由a，b，c的关系解得b==6∴椭圆方程是,故选B【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的定义和性质，涉及到两焦点的距离问题时，常采用定义法求椭圆的标准方程.2．D【解析】【分析】运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a=20，再由周长，即可得到AB的长．【详解】椭圆=1的a=5，由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2的周长为4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第2页，总14页故答案为：D【点睛】本题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于基础题．3．C【解析】∵，∴可设，，由题意可知，∴，∴，，∵，∴是直角三角形，其面积，故选C.4．A【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，建立相应的等量关系式，列出对应的方程组，从而求得a,b的值，最后求得椭圆的方程.【详解】由题意可得，解得，所以椭圆的方程为，故选A.【点睛】该题考查的是有关椭圆的方程的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有椭圆的短轴长为，椭圆的离心率，以及椭圆中三者之间的关系，认真审题是正确解题的关键.5．B【解析】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第3页，总14页由，得，当焦点在x轴时，设双曲线方程为，代入，得，解得，当焦点在y轴时，设双曲线方程为，代入，得，无解。所以，即双曲线方程为，选B.【点睛】求圆锥线方程，一定要先定位，再定量，当不能定位时，要根据焦点在x轴，y轴分类讨论。6．A【解析】设椭圆方程为：，直线经过椭圆的短轴顶点和一个焦点，由对称性，不妨设直线，椭圆中心到的距离为其短轴长的，所以,解得，即离心率为.故选A.7．C【解析】【分析】由题意，矩形的对角线长相等，由此建立方程，找出a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．【详解】由题意，矩形的对角线长相等，y=x代入，b＞0），本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第4页，总14页可得x=±，y=±•，∴=c2，∴4a2b2=（b2﹣3a2）c2，∴4a2（c2﹣a2）=（c2﹣4a2）c2，∴e4﹣8e2+4=0，∵e＞1，∴e2=4+2，∴e=+1．故选：C．【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．8．A【解析】【分析】根据双曲线的定义，用a表示出，结合勾股定理和离心率的公式即可求得离心率。【详解】根据题意，做出图像如下图所示本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第5页，总14页因为，设由双曲线定义可知，即在Rt△MF2F1中，由勾股定理可知，即联立方程得化简得所以选A【点睛】本题考查了双曲线定义及性质的简单应用，离心率的简单求法，属于基础题。9．D【解析】【分析】根据题意，由双曲线的标准方程依次分析选项，综合即可得答案.【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，双曲线的方程为，其中b=3，虚轴长为6，则A错误；对于B，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则焦距为，则B错误；对于C，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则，则离心率为，则C错误；本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第6页，总14页对于D，双曲线的方程为，其中a=2，b=3，则渐近线方程为，则D正确.故选：D.【点睛】本题考查双曲线虚轴长、焦距、离心率以及渐近线方程等概念，考查基本分析求解能力，属基础题.10．A【解析】【分析】因，故双曲线的焦点在轴上，而抛物线的焦点为，利用前者的右焦点与抛物线的焦点重合得到的值后可得抛物线的准线方程.【详解】双曲线的右焦点为，抛物线的焦点为，所以，解（舎）或，故抛物线的准线方程为：，故选A.【点睛】本题考察圆锥曲线的基本量的计算，属于基础题.11．C【解析】【分析】根据椭圆与双曲线定义解得再根据解三角形得面积.【详解】由题意得，，所以本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第7页，总14页，因此为直角三角形，的面积是，选C.【点睛】本题考查椭圆与双曲线定义以及解焦点三角形，考查基本分析求解能力.属中档题.12．B【解析】因为等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，所以设该双曲线方程为222xya，又C与抛物线216yx的准线:4lx交于,AB两点，43AB，则222423a，即24,24aa，即该双曲线的实轴长为4.故选B.13．C【解析】分别过点作准线的垂线，垂足分别为，设，由抛物线定义，得，则，在中，，则，所以，解得，因为，所以，即，即抛物线方程为.故选C.点睛：本题考查直线和抛物线的位置关系；在处理直线和抛物线的位置关系时，往往利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行互化，可减少运算量.14．D本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第8页，总14页【解析】【分析】根据抛物线标准方程，可求得p，进而求得焦点坐标。【详解】将抛物线方程化为标准方程为，可知所以焦点坐标为所以选D【点睛】本题考查了抛物线的基本性质，属于基础题。15．B【解析】【分析】判断命题“若”和命题“,则”的真假,即可【详解】一方面,当不能推出;另一方面,由得,从而由可以推出因此,“”是“”的必要不充分条件,故选B.【点睛】本题考查“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”，需要准确把握其内涵及其判断方法.16．（1）（2）【解析】【分析】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第9页，总14页（1）根据离心率为,且过点(,1)，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、即可得结果；（2）设，将代入的方程，整理得，根据韦达定理、弦长公式以及点到直线距离公式，结合三角形面积公式可得，利用基本不等式可得结果.【详解】（1）由已知可得，且，解得，椭圆的方程为.（2）设，将代入的方程，整理得，，，，，，，当且仅当时取等号，面积的最大值为.【点睛】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第10页，总14页求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.17．（1）（2）【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，右焦点为，结合，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）设，代入椭圆方程，得，根据韦达定理中点的坐标，根据斜率可求得，进而能求出的面积．【详解】（Ⅰ）由已知得，，解得．，∴椭圆的标准方程．（Ⅱ）设直线的方程为，代入椭圆方程得…………①，设、，中点为，则，因为是等腰的底边，所以．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第11页，总14页所以的斜率为，解得，此时方程①为．解得，，所以，，所以，此时，点到直线：的距离，所以的面积．【点睛】本题考查椭圆方程和三角形面积的求法，具体涉及到椭圆的简单性质、直线和椭圆的位置关系、根与系数的关系、根的判别式、中垂线方程的求法、弦长公式等基本知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的灵活运用．18．（1）（2）【解析】【分析】（1）首先根据题中所给的椭圆方程，可以判断得出其为焦点在x轴上的椭圆，根据其过的点的坐标，从而判断出b的值，结合离心率，列出相应的等量关系式，借助于椭圆中的关系，求得结果；（2）首先根据题中的条件，写出直线的方程，之后与椭圆方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式求得结果.【详解】（1）由椭圆C：可知其焦点在x轴上，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第12页，总14页因为椭圆过点，所以，因为其离心率，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）由题意可知：直线方程为，由，整理得，显然，设，，由韦达定理可得，，所以AB中点M的坐标是.【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的短轴端点，椭圆的离心率，椭圆中三者之间的关系，直线方程的点斜式，直线与椭圆的综合题，韦达定理以及中点坐标公式，认真求解时正确解题的关键.19．解：（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】分析：（1）椭圆过M，故可将点M代入方程得到b，在根据离心率即可得到椭圆方程；（2）连立直线和椭圆可求出弦长AB，在利用点到直线的距离公式得出高，根据三角形面积公式即可得出结论.详解：（Ⅰ）由题意得代入点M可得：结合，解得所以，椭圆的方程为.………………5分本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第13页，总14页（Ⅱ）由得………………6分即，经验证.设.所以，………………8分，………………10分因为点到直线的距离，………………12分所以.………………13分点睛：本题考查椭圆的标准方程和基本性质，考查直线的圆的关系，解本题关键就是要熟悉椭圆的一些基本几何关系，属于基础题.20．解（I）（II）【解析】分析：（1）由题可得，然后根据a,b,c的关系即可得达到b，从而得出