指数函数与对数函数的关系(反函数)

指数函数与对数函数的关系问题1：指数函数y=ax与对数函数y=logax(a0,a≠1)有什么关系?对应法则互逆y=axx=logayy=logax指数换对数交换x,y指数函数y=ax与对数函数x=logay(a0,a≠1)有什么关系?函数自变量因变量定义域值域y=axxyR(0,+∞)x=logayyx(0,+∞)R称这两个函数互为反函数对应法则互逆指数函数y=ax是对数函数x=logay(a0,a≠1)的反函数指数函数y=ax(a0,a≠1)对数函数y=logax(a0,a≠1)反函数xy0xy2xy2logxyxy0xy)21(xy21logxyxy0xy2xy2logxy10xy10logxyxy0xy)21(xy21logxy)101(xy101logxy观察在同一坐标系内函数y=log2x与函数y=2x的图像,分析它们之间的关系.函数y=log2x的图像与函数y=2x的图像关于直线y=x对称(1,0)(0,1)Oxyy=log2xy=2xy=xP(a,b)Q(a,b)函数y=f(x)的图像和它的反函数的图像关于直线y=x对称•1．当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。•2．对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数，图象关于直线y=x对称。•3．函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x)表示。注意：y＝f－1(x)读作：“f逆x”表示反函数，不是-1次幂（倒数）的意思例1写出下列对数函数的反函数:(1)y=lgx;.log231xy解(1)对数函数y=lgx,它的底数是它的反函数是指数函数10y=10x(2)对数函数,log31xy它的底数是31它的反函数是指数函数.31xy例2写出下列指数函数的反函数:(1)y=5x.322xy解(1)指数函数y=5x,它的底数是5它的反函数是对数函数y=log5x;(2)指数函数,它的底数是,它的反函数是对数函数xy32log32xy32练习1.说出下列各组函数之间的关系:(1)y=10x和y=lgx；(2)y=2x和y=log2x;(3)y=ex和y=lnx.互为反函数,定义域和值域互换,对应法则互逆练习2.写出下列对数函数的反函数:(1)y=log2.5x;(2)y=logπx;3log.13yx3.写出下列指数函数的反函数:(1)y=4x;(2)y=1.4x;.23xy(1)y=2.5x(2)y=πxxy313(1)y=log4x(2)y=log1.4xxy2log3例3求函数ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R）反函数，并在同一直角坐标系中作出函数及其反函数的图象。解：由ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R）得32ｙ＋ｘ＝所以ｙ＝2ｘ－1（ｘ∈R）的反函数是（ｘ∈R）ｙ＝3ｘ－2经过两点（0，－2），（2/3，0）32ｘ＋ｙ＝经过两点（－2，0），（0，2/3）32ｘ＋ｙ＝0xyｙ＝3ｘ－232ｘ＋ｙ＝ｙ＝ｘ想一想：函数ｙ＝3ｘ－2的图象和它的反函数32ｘ＋ｙ＝的图象之间有什么关系？求函数反函数的步骤:3求原函数的值域1反解2x与y互换4写出反函数及它的定义域b＝f(a)a＝f－1(b)点（b,a）在反函数y＝f－1(x)的图像上点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上(1,0)(0,1)Oxyy=log2xy=2xy=xP(b,a)Q(a,b)结论:[例4]函数f(x)＝loga(x－1)(a＞0且a≠1)的反函数的图象经过点(1,4)，求a的值.解:依题意,得)14(log1a.3,13log:a即ab＝f(a)a＝f－1(b)点（b,a）在反函数y＝f－1(x)的图像上点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上215124fxxxf例：已知函数（）（）求出（）的值。214525.xxxx解：令，解之得：又，b＝f(a)a＝f－1(b)点（b,a）在反函数y＝f－1(x)的图像上点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上理论迁移例4已知函数.（1）求函数f(x)的定义域和值域；（2）求证函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称.2()log(12)xfx小结反函数的概念定义域和值域互换对应法则互逆图像关于直线y=x对称指数函数y=ax(a0,a≠1)与对数函数y=logax(a0,a≠1)互为反函数作业课本第106页练习A组B组对称性：成轴对称的图象关于与xyxyayaxlog)1(轴成轴对称的图象关于与yayayxx)1()2(轴成轴对称的图象关于与xxyxyaa1loglog)3(对数函数y=logax(a0,a≠1)指数函数y=ax(a0,a≠1)(4)a1时,a越大图像越靠近y轴0a1时,a越小图像越靠近y轴(4)a1时,a越大图像越靠近x轴0a1时,a越大图像越靠近x轴(5)a1时,在R上是增函数；0a1时,在R上是减函数(5)a1时,在(0,+∞)是增函数；0a1时,在(0,+∞)是减函数(3)过点(0,1),即x=0时,y=1(3)过点(1,0),即x=1时,y=0(2)值域：(0,+∞)(1)定义域：R(1)定义域：(0,+∞)(2)值域：Ry=ax(a1)y=ax(0a1)xyo1y=logax(a1)y=logax(0a1)xyo1图象性质