【三维设计】2016届(新课标)高考数学(理)大一轮复习精品讲义：第六章++不等式、推理与证明 (1

1第一节不等关系与不等式基础盘查一两个实数比较大小的方法(一)循纲忆知1．了解现实世界和日常生活中的不等关系；2．了解不等式(组)的实际背景．(二)小题查验判断正误(1)不等关系是通过不等式来体现的，离开了不等式，不等关系就无从体现()(2)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种()(3)若ab＞1，则a＞b()基础盘查二不等式的基本性质(一)循纲忆知掌握不等式的性质及应用．(二)小题查验1．判断正误(1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变()(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小()(3)同向不等式具有可加和可乘性()(4)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ad＞bc()(5)若ab＞0，则a＞b⇔1a＜1b2．(人教A版教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空：(1)a＞b，c＜d⇒a－c________b－d；(2)a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac________bd；(3)a＞b＞0⇒3a________3b；(4)a＞b＞0⇒1a2_1b2.考点一比较两个数式的大小|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]两个实数比较大小的法则关系法则作差法则作商法则a＞ba－b＞0ab＞1(a，b＞0)或ab＜1(a，b＜0)a＝ba－b＝0ab＝1(b≠0)a＜ba－b＜0ab＜1(a，b＞0)或ab＞1(a，b＜0)[题组练透]1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()2A．MNB．MNC．M＝ND．不确定2．若a＝ln22，b＝ln33，则a____b(填“＞”或“＜”)．3．若实数a≠1，比较a＋2与31－a的大小．[类题通法]比较两个数(式)大小的两种方法(1)比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据．(2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式，作商只是思路，关键是化简变形，从而使结果能够与1比较大小．考点二不等式的性质|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．不等式的基本性质(1)对称性：ab⇔ba.(2)传递性：ab，bc⇒ac.(3)可加性：ab⇒a＋cb＋c.(4)可乘性：ab，c0⇒acbc；ab，c0⇒acbc.(5)加法法则：ab，cd⇒a＋cb＋d.(6)乘法法则：ab0，cd0⇒acbd.(7)乘方法则：ab0⇒anbn(n∈N，n≥2)．(8)开方法则：ab0⇒nanb(n∈N，n≥2)．2．不等式的倒数性质(1)ab，ab0⇒1a1b.(2)a0b⇒1a1b.(3)ab0,0cd⇒acbd.[提醒]不等式两边同乘数c时，要特别注意“乘数c的符号”．[典题例析]1．(2013·天津高考)设a，b∈R则“(a－b)·a20”是“ab”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．(2015·西宁二模)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是()A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若ac＞bc，则a＞bC．若a3＞b3且ab＜0，则1a＞1bD．若a2＞b2且ab＞0，则1a＜1b[类题通法](1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．[演练冲关]1．若ab0，则下列不等式不成立的是()3A.1a1bB．|a||b|C．a＋b2abD.12a12b2．若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②ad＋bc＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是()A．1B．2C．3D．4考点三不等式性质的应用|(题点多变型考点——全面发掘)[一题多变][典型母题]已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．∴5≤f(－2)≤10.[题点发散1]若本例中条件变为：已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1f(－1)≤2,2≤f(1)4，求f(－2)的取值范围．[题点发散2]若本例条件不变，求2a－3b的取值范围．[题点发散3]若本例条件变为：已知1≤lgxy≤4，－1≤lgxy≤2，求lgx2y的取值范围．[类题通法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．一、选择题1．设a，b∈[0，＋∞)，A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是()A．A≤BB．A≥BC．A＜BD．A＞B2．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是()A．－n＜m＜n＜－mB．－n＜m＜－m＜n4C．m＜－n＜－m＜nD．m＜－n＜n＜－m3．(2015·西安检测)设α∈0，π2，β∈0，π2，那么2α－β3的取值范围是()A.0，5π6B.－π6，5π6C．(0，π)D.－π6，π4．在所给的四个条件：①b0a；②0ab；③a0b；④ab0中，能推出1a1b成立的有()A．1个B．2个C．3个D．4个5．若1a1b0，则下列结论不正确的是()A．a2b2B．abb2C．a＋b0D．|a|＋|b||a＋b|6．(2015·北京平谷模拟)已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：①若ab＞0，bc－ad＞0，则ca－db＞0；②若ab＞0，ca－db＞0，则bc－ad＞0；③若bc－ad＞0，ca－db＞0，则ab＞0.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3二、填空题7．已知a，b，c∈R，有以下命题：①若ab，则ac2bc2；②若ac2bc2，则ab；③若ab，则a·2cb·2c.其中正确命题的序号是__________．8．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是________．9．已知a＋b＞0，则ab2＋ba2与1a＋1b的大小关系是________．10．已知存在实数a满足ab2aab，则实数b的取值范围是________．三、解答题11．若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0.求证：ea－c2＞eb－d2.12．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．第二节一元二次不等式及其解法5基础盘查一元二次不等式(一)循纲忆知1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．(二)小题查验1．判断正误(1)不等式ax2＋x－1＞0一定是一元二次不等式()(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合()(3)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集为R时，ax2＋bx＋c＞0恒成立()(4)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1，x2，且x1＜x2，则ax2＋bx＋c＞0的解集为{}x|x＜x1或x＞x2()2．不等式组x2－4x＋30，2x2－7x＋60的解集是()A．(2,3)B.1，32∪(2,3)C.－∞，32∪(3，＋∞)D．(－∞，1)∪(2，＋∞)3．(人教A版教材例题改编)不等式－x2＋2x－3＞0的解集为________．4．已知集合A＝{}x|－5＜x＜1，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.考点一一元二次不等式的解法|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]设一元二次不等式为ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，其中Δ＝b2－4ac，x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根且x1＜x2.(1)当a＞0时，若Δ＞0，则不等式的解集为{x|x＜x1，或x＞x2}；若Δ＝0，则不等式的解集为xx∈R，且x≠－b2a；若Δ＜0，则不等式的解集为R.(2)当a＜0时，若Δ＞0，则不等式的解集为{x|x1＜x＜x2}；若Δ＝0，则不等式的解集为∅；若Δ＜0，则不等式的解集为∅.[题组练透]1．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B，则a＋b等于()A．－3B．1C．－1D．32．解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)0＜x2－x－2≤4；(3)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．6[类题通法]1．解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[提醒]当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．考点二一元二次不等式恒成立问题|(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]一元二次不等式恒成立的条件(1)不等式ax2＋bx＋c0对任意实数x恒成立⇔a＝b＝0，c0，或a0，Δ0.(2)不等式ax2＋bx＋c0对任意实数x恒成立⇔a＝b＝0，c0，或a0，Δ0.[多角探明]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.归纳起来常见的命题角度有：(1)形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围；(2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围；(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围.角度一：形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围1．已知不等式mx2－2x－m＋1＜0，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．角度二：形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围2．设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．7角度三：形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围3．对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．[类题通法]恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．考点三一元二次不等式的应用|(重点保分型考点—