【三轮冲刺】2013年高中数学复习点睛专题(考向聚焦+解题反思)课件：第14讲 数列的通项与求和

第2讲数列的通项与求和考向一:利用构造或转化法求通项公式【例1】(2011年江西南昌模拟)已知数列{an}和{bn}满足:a1=1,an+1=2an+1,bn=2an+2,n∈N*,求数列{bn}的通项公式.名师导引:(1)①欲求bn,只需求什么?【只需求an】②根据条件an+1=2an+1,用什么方法求an?【待定系数法】(2)①由bn=2an+2能否得到bn+1?【能,bn+1=2an+1+2】②能否把bn+1=2an+1+2中的an+1消掉?【将已知an+1=2an+1代入即可】③若=常数,则数列{bn}为什么数列?【等比数列】解:法一:由an+1=2an+1得,an+1+1=2(an+1),又a1+1=2,所以数列{an+1}是以2为首项,以2为公比的等比数列,因此an+1=2·2n-1=2n,所以an=2n-1.所以bn=2an+2=2(2n-1)+2=2n+1(n∈N*).法二:因为bn+1=2an+1+2=2(2an+1)+2=2(2an+2)=2bn,又b1=2a1+2=4,所以=2(n∈N*),因此数列{bn}是以4为首项,2为公比的等比数列,所以bn=4·2n-1=2n+1(n∈N*).根据数列的递推关系式求数列的通项时,通常是先将所给递推关系式进行适当变形整理(如分解因式,待定系数,同除或者累加、累乘等)构造或转化为等差数列、等比数列,然后求其通项.举一反三11:(2011年辽宁沈阳模拟)已知数列{an}中a1=1,当n≥2时有an=an-1+n.则数列{an}的通项公式为()(A)an=2n-1(B)an=n·2n-1(C)an=2n-1-n(D)an=n·2n-n考向二:利用an与Sn的关系求通项公式【例2】(2011年福建厦门模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,并且满足a1=2,nan+1=Sn+n(n+1).(1)求{an}的通项公式;(2)令Tn=()nSn,问是否存在正整数m,对一切正整数n,总有Tn≤Tm?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.解:(1)令n=1,由a1=2,nan+1=Sn+n(n+1)得a2=4,所以a2-a1=2.由于nan+1=Sn+n(n+1),所以当n≥2时,有(n-1)an=Sn-1+n(n-1),两式相减得nan+1-(n-1)an=an+2n,整理得nan+1-nan=2n,即an+1-an=2(n≥2),但当n=1时,a2-a1=2,所以数列{an}是首项为2,公差为2的等差数列,于是an=2+(n-1)×2=2n.(2)存在.由(1)得Sn=n(n+1),所以Tn=()nSn=()n(n2+n).故Tn+1=()n+1[(n+1)2+(n+1)],令Tn≤Tn+1得()n(n2+n)≤()n+1[(n+1)2+(n+1)],整理得n≤(n+2),所以n≤8,因此T1T2…T8=T9T10T11…,故存在正整数m,对一切正整数n,总有Tn≤Tm且m=8或m=9.举一反三21:已知数列{an}的各项为正数,前n项和为Sn,且Sn=(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,Tn=b1+b2+…+bn,求Tn.解:(1)∵Sn=,∴2Sn=+an,又2Sn-1=+an-1(n≥2),两式相减得2an=-+an-an-1,∴(an+an-1)(an-an-1-1)=0.∵an0,∴an-an-1=1(n≥2),∴数列{an}是公差为1的等差数列.又∵S1=a1=,∴a1=1,∴an=n.考向三:利用错位相减法求和【例3】设数列{bn}的前n项和为Sn,且bn=2-2Sn;数列{an}为等差数列,且a5=14,a7=20.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)若cn=an·bn(n∈N*),记Tn为数列{cn}的前n项和,求Tn.名师导引:(1)由bn=2-2Sn如何得到bn?【利用公式bn=】(2)①由(1)知{bn}为什么数列?【等比数列】②{cn}是等差数列{an}和等比数列{bn}的积构成的数列,用什么方法求此数列的前n项和?【错位相减法】解:(1)由bn=2-2Sn,令n=1,则b1=2-2S1,又S1=b1,所以b1=.当n≥2时,由bn=2-2Sn,可得bn-1=2-2Sn-1,故bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=-2bn,即=,所以{bn}是以b1=为首项,为公比的等比数列,于是bn=2·.一般地,如果某数列是等差数列{an}与等比数列{bn}对应项相乘得到的数列{anbn},常用错位相减法求该数列的前n项的和.如求和Sn=1·2+2·22+3·23+4·24+…+n·2n,注意到数列{n·2n}是由一等差数列和一等比数列的积构成,可用错位相减法求其前n项的和.用错位相减法求和时,一定要“错位对齐相减”,避免出错.考向四:利用裂项相消法求和【例4】(2011年山东烟台二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,Tn为数列{bn}的前n项和,证明:Tn(n∈N*).(1)解:由题意知,当n=1时,有a1=S1=-2;当n≥2时,裂项相消法求和是一种重要的求和方法,可用该方法求和的数列其通项公式以分式的形式居多,且其每一项都能化为两项之差,且中间一些项可以相互抵消.此时应注意:(1)通项公式是否恰好转化为两项之差,还是需要在其前面乘一个系数,(2)在最后裂项相消时,是不是对称相消、对称剩余.