锐角三角函数的概念、特殊角的三角函数值、直角三角形的有关计算

厦门学子教育顾问机构：锐角三角函数的概念，特殊角的三角函数值，直角三角形的有关计算，测量问题，方位角问题，仰角、俯角问题（1）(2008年湖南怀化)已知△中，，3cosB=2，AC=，则AB=6．（2）（2008乌鲁木齐）．将点向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到对应点的坐标是（3）（2008年徐州市）14.边长为a的正三角形的面积等于___________.（4）（2008年龙岩市）如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，tanB=，则CD∶DB=1∶2.▲（5）（2008年江苏省迁宿市）已知直角三角形两条直角边的长是和，则其内切圆的半径是___1___．（6）（08江苏连云港）在中，，，，则．（7）(2008年江苏省宿迁市)已知为锐角，且，则等于（C）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．（8）(2008年山西省)王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60o,又知水平距离BD=10m，楼高AB=24m，则树高CD为（A）A．mB．mC．mD．9m（9）（2008四川乐山）如图（3）AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4，则sinB=（A）厦门学子教育顾问机构、B、Ｃ、Ｄ、（10）（2008年龙岩市）已知α为锐角，则m=sinα+cosα的值（A）A．m＞1B．m=1C．m＜1D．m≥1（11）.(2008年南充市)二次函数的图像如图所示，则点在（C）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（12）（2008年江苏省迁宿市）已知为锐角，且，则等于（C）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．（13）(2008年湖南怀化)某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图12所示，，斜坡长，坡度．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡B到地面的垂直距离的长；（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚不动，坡顶沿削进到处，问至少是多少米？厦门学子教育顾问机构厦门新东方学校操老师（14）（2008年江苏省迁宿市）有一底角为的直角梯形，上底长为10cm，与底垂直的腰长为10cm，以上底或与底垂直的腰为一边作三角形，使三角形的另一边长为15cm，第三个顶点落在下底上．请计算所作的三角形的面积．答案23．解：当cm时，的面积是；当cm时，的面积是；当cm时，的面积是．厦门学子教育顾问机构厦门新东方学校操老师（每种情况，图给1分，计算结果正确1分，共6分）（15）（2008哈尔滨市）如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图a、图b、图c是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图a、图b、图c的方格纸上。要求：（l）所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合。（2）画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹。答案25．3种拼法各2分（16）（2008乌鲁木齐）．如图7，河流两岸互相平行，是河岸上间隔50m的厦门学子教育顾问机构厦门新东方学校操老师两个电线杆．某人在河岸上的处测得，然后沿河岸走了100m到达处，测得，求河流的宽度的值（结果精确到个位）．．解：过点作，交于，四边形是平行四边形m，m，又，故，m在中，m答：河流的宽度的值为43m（17）（云南省2008年）．（本小题10分）如图，在某海域内有三个港口、、．港口在港口北偏东方向上，港口在港口北偏西方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东的方向驶离港口3小时后到达点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在处测得港口在处的南偏东方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．厦门学子教育顾问机构厦门新东方学校操老师解：连结AC、AD、BC、BD，延长AT，过B作于T，AC与BT交于点E．过B作于点P．由已知得，，（海里），在和中，，，∴．∵，∴，从而（海里）∵港口C在B处的南偏东方向上，∴在等腰中，（海里），∴．是，∴．综上，可得港口C离B点位置最近．∴此船应转向南偏东方向上直接驶向港口C．设由B驶向港口C船的速度为每小时海里则据题意应有，解不等式，得（海里）．答：此船应转向沿南偏东的方向向港口C航行，且航行速度至少不低于每小时海里，才能保证船在抵达港口前不会沉没．厦门学子教育顾问机构厦门新东方学校操老师（18）（2008绍兴）地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援．如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在处时，车载GPS（全球卫星定位系统）显示村庄在北偏西方向，汽车以35km/h的速度前行2h到达处，GPS显示村庄在北偏西方向．（1）求处到村庄的距离；（2）求村庄到该公路的距离．（结果精确到0.1km）（参考数据：，，，）答案：解：过作，交于．（1），，厦门学子教育顾问机构厦门新东方学校操老师，，即处到村庄的距离为70km．（2）在中，．即村庄到该公路的距离约为55.2km．（19）（2008台州）．如图是某宾馆大厅到二楼的楼梯设计图，已知米，米，中间平台宽度为2米，为平台的两根支柱，垂直于，垂足分别为，，．求和的水平距离．（精确到0.1米，参考数据：，）解：设米．，，米，米，米，米，米，米，米，在中，，，，厦门学子教育顾问机构厦门新东方学校操老师即．解这个方程得：．答：支柱距的水平距离约为4.6米．（20）（2008年辽宁省十二市）如图13，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离是1.7m，看旗杆顶部的仰角为；小红的眼睛与地面的距离是1.5m，看旗杆顶部的仰角为．两人相距28米且位于旗杆两侧（点在同一条直线上）．请求出旗杆的高度．（参考数据：，，结果保留整数）解：过点作于，过点作于则在中，，厦门学子教育顾问机构厦门新东方学校操老师设（不设参数也可），在中，，答：旗杆高约为12米（21）（2008年佳木斯市）如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足．（1）求点，点的坐标．（2）若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结．设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）在（2）的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．厦门学子教育顾问机构厦门新东方学校操老师解：（1），，点，点分别在轴，轴的正半轴上（2）求得（3）；；；（22）（哈尔滨市2008）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）将△ABC向右平移6个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；并写出点C1的坐标；（2）将△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2。（1）正确画出图（2）正确画出图（23）（哈尔滨市2008）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△ABO绕原点O顺时针旋转得到△A´B´O，并使OA´⊥AB，垂足为D，直线AB与线段A´B´相交于点G．动点E从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，设动点E运动的时间为t秒．（1）求点D的坐标；厦门学子教育顾问机构厦门新东方学校操老师（2）连接DE，当DE与线段OB´相交，交点为F，且四边形DFB´G是平行四边形时，（如图2）求此时线段DE所在的直线的解析式；（3）若以动点为E圆心，以为半径作⊙E，连接A´E，t为何值时。Tan∠EA´B´＝？并判断此时直线A´O与⊙E的位置关系，请说明理由。解：（1）由题意知，，，，．，厦门学子教育顾问机构厦门新东方学校操老师过点作轴于点（如图1），，，．设，则，，．，，（2）设与轴交于点（如图2）四边形是平行四边形，，．又，．，，，，．，．点是中点，设线段所在直线解析式为．厦门学子教育顾问机构厦门新东方学校操老师把，代入，得解得．线段所在直线的解析式为（3）设直线交轴于点（如图3），过点作轴于点．，，，，，，．过点作轴于点，同理，．设直线的解析式为，，解得．直线的解析式为厦门学子教育顾问机构厦门新东方学校操老师，，．当点在点左侧点位置时，过点作于点．，设m，则m.又，m，．，，，此时过点作于点．，，．的半径为，而，与直线相交．当点在点右侧点位置时过点作于点同理此时过点作于点同理．的半径为，与直线相切当或时，；当时直线与相交，当时直线与相切．厦门学子教育顾问机构厦门新东方学校操老师（24）（2008镇江市）如图，在直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，以为边在第二象限内作矩形，使．（1）求点，点的坐标，并求边的长；（2）过点作轴，垂足为，求证：；（3）求点的坐标．解：（1），，在中，（2）由，，，又，（3），，即，，．．（25）（2008徐州市）20.如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）厦门学子教育顾问机构厦门新东方学校操老师参考数据：1.414，1.732解：如图所示，过点A、D分别作BC的垂线AE、DF分别交BC于点E、F，所以△ABE、△CDF均为Rt△，又因为CD＝14，∠DCF＝30°，所以DF＝7＝AE，且FC＝712.1所以BC＝7＋6＋12.1＝25.1m．．（26）（湖北省十堰市）(7分)海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．解：有触礁危险理由：过点P作PD⊥AC于D设PD为x，在Rt△PBD中，∠PBD=90°－45°＝45°．∴BD＝PD＝x在Rt△PAD中，∵∠PAD＝90°－60°＝30°，厦门学子教育顾问机构厦门新东方学校操老师∴∵∴∴∵∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．（27）（08河北）气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为点）的南偏东方向的点生成，测得．台风中心从点以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点处．因受气旋影响，台风中心从点开始以30km/h的速度向北偏西方向继续移动．以为原点建立如图12所示的直角坐标系．（1）台风中心生成点的坐标为，台风中心转折点的坐标为；（结果保留根号）（2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风