二元一次不等式(组)平面区域

回顾知识在现实生活中，我们会遇到各种不一样的不等关系，需要用不同的数学模型来刻画和研究它.我们已经知道从很多现实事件中可以抽象出一元二次不等式的模型.1、一元二次不等式的一般形式为：2222ax+bx+c0ax+bx+c0ax+bx+c0ax+bx+c0一元二次不等式的一般形式是什么？2、解一元二次不等式的基本步骤：（1）转化为不等式的“标准”形式;（2）算△,解相应一元二次方程的根；（3）根据二次函数的图象以及不等号的方向，写出不等式的解集.3、这样我们就科技借助数学工具解决实际问题了.新课导入一家银行的信贷部年初投入2500000元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30000元的收益.其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中收益10%.那么，信贷部应该如何分配资金呢？分析：这个问题中存在着一些不等关系,我们应该想办法把这些不等关系表示出来.设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元.由资金总数为25000000元，可得：x+y25000000由于预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30000元以上，所以：12%x+10%y30000由于用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值，所以：,x0y0将他们合在一起，得到分配资金应该满足的条件：x+y2500000012%x+10%y30000,x0y0从而，只要求出这个方程组的解，我们就得到了想要的答案.此时，我们的问题变为求解上述方程组的问题.x+y33x+2y5x-y11.了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域.教学目标知识与能力2.巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件.1.经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想.过程与方法2.经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力.1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力.情感态度与价值观2.通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣.用二元一次不等式（组）表示平面区域;理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来.把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域.重点难点教学重难点之前我们把导入中提出的问题归结为解下列这个二元一次不等式组的问题.x+y2500000012%x+10%y30000,x0y0什么是一元二次不等式组呢？定义（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式；（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组；（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对（x,y），所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集；（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标.进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合.我们知道，一元一次不等式（组）的解集为数轴上的区间，例如：x+30x-40不等式组的解集为数轴上的一个区间.x-304那么，在直角坐标系里，一元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？探究我们不妨先研究具体的二元一次不等式x-y6的解集所表示的图形.6xoy-6L：x-y=6如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类：第一类：在直线x-y=6上的点；第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点；第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点；x6oy-6L：x-y=6设点P(x，y1)是直线L上的点，取点A(x,y2),使他的坐标满足不等式x-y6,完成下表.横坐标x-3-2-10123点p的纵坐标y1-9-8-7-6-5-4-3点A的纵坐标y2AP完成上表后，回答下列问题.1、当点A与点P有相同的横坐标时，他们的纵坐有什么关系？2、进而，直线L上的点的坐标与不等式x-y6有什么关系？问题3、直线右下方的点的坐标与不等式x-y6又有什么关系？在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y6.在平面直角坐标系中，不等式x-y6表示直线x-y=6左上方的平面区域；想想这说明什么？同样地，二元一次不等式x-y6表示直线x-y=6的右下方的区域.直线x-y=0称为这两个区域的边界,一般把边界化成虚线，以表示他不再区域内.1、通过以上的探究，我们知道了一个二元一次不等式组表示的是那些点的组合.2、我们可以把这两个区域的图像表示出来.L：x-y=6x6oy-66xoy-6L：x-y=6有了上面的基础后，我们能不能判断出一个一般的二元一次不等式的表示区域呢？一般形式Ax+By+C0他表示的应为直线Ax+By+C=0某一侧所有的点组成的平面区域.结论1、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）.2、注意所求区域是否包括边界直线.画出不等式2x+y-60表示的平面区域.解:将直线2x+y-6=0画成虚线；将(0,0)代入2x+y-6得0+0-6=-60原点所在一侧为2x+y表示平面区域.2x+y-602x+y-6=0oxy画出下列不等式所表示的平面区域(1)4x-3y≤12(2)x≥1(3)x-2y0(4)-2x+y-303xoy－4(1)1xoy21xoy3xoy(2)(3)(4)画出不等式组4x0yx0102yx表示的平面区域.解：把原点(0,0)带入式子x-2y+10，得0-0+10=100,从而x-2y+10≥0代表的为直线和其右上方的区域；把原点(0,1)带入式子x+y，得0+10,从而x+y≥0代表的为直线和其右上方的区域.x+y=0x=4x-2y+10=0OXY从而他的图形为一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产两种混合肥料.列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.解：设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：4x+y1018x+15y66x0y0≤≤≥≥在直角坐标系中可表示成如图的平面区域.课堂小结1、二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组;2、一个一元二次方程表示的应为直线Ax+By+C=0某一侧所有的点组成的平面区域.3、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：直线定界，特殊点定域C≠0时，取原点作为特殊点C＝0时，取（0，1）作为特殊点课堂练习1、画出下列不等式表示的平面区域.（1）２ｘ＋３ｙ－６＞０（2）2ｘ＋５ｙ≥1０（3）４ｘ－３ｙ≤１２OXY320+0-6=-60OXY520+0-10=-100OYX3-40-0-12=-120(1)(2)(3)2、用不等式表示下列平面区域.xyo1-1（1）xyo12（2）解：(1)由图形可得，他对应的直线为x-y+1=0；把原点(0,0)带入式子x-y+1得0-0+10;从而，此图形代表的不等式为x-y+1≥0.(2)由图形可得，他对应的直线为x+2y-2=0；把原点(0,0)带入式子x+2y-2得0+0-20;从而，此图形代表的不等式为x+2y+1≤0.3、画出不等式组表示的平面区域。解：把原点(0,0)带入式子x-y+5，得0-0+5=50,从而x-y+5≤0代表的为直线和其左上方的区域；把原点(0,1)带入式子x+y，得0+10,从而x+y≥0代表的为直线和其右方的区域.3x0yx05yx4、画出不等式(x-y)(x-y-1)0≤表示的区域.分析，可以将其转化成二元一次不等式组,然后再利用不等式组的知识求解.解：x-y≥0x-y-1≤00≤x-y≤1x-y≤0x-y≥1或而后一种情况矛盾无解.故点(x,y)在一带形区域内（含边界）.5、画出不等式2xyx表示的区域.解：由x≤2x,得x≥0;当y≥0时，有x-y≤02x-y≥0点(x,y)在一条形区域内(边界);当y≤0时，由对称性得出.去绝对值的方法，你学会了吗？6、利用区域求不等式组2x-y-302x+3y-603x-5y-150的整数解.分析：不等式组的实数解集为三条直线所围成的三角形区域内部(不含边界).这三条直线分别为1l:2x-y-3=02l:2x+3y-6=03l:3x+5y-15=0求得区域内点横坐标范围，取出的所有整数值，再代回原不等式组转化为的一元不等式组得出相应的的整数值.解：设1l:2x-y-3=02l:2x+3y-6=03l:3x+5y-15=012ll=A及13Bll=23Cll=153A(,)84；则B(0,-3)7512C(,-)1919于是看出区域内点的横坐标在750,19内，取＝1，2，3，当＝1时，代入原不等式12-y-15组有得y＝－2，∴区域内有整点(1,-2)，同理可求得另外三个整点(2,0)，(2,-1)，(3,-1).7、画出下列不等式的图形.(1)y︱x︱+1(2)︱x︱︱y︱(3)x︱y︱(1)(2)(3)关键是把绝对值不等式转化成二元一次不等式组！