【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题6 解析几何 第3讲 直线与圆锥曲线的位置关系 理

1第3讲直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系训练提示:根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数,可以研究直线与圆锥曲线的位置关系,方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数,若含参数,需按二次项系数是否为零进行分类讨论,只有二次项系数不为零时,方程才是一元二次方程,才可以用判别式Δ的符号判断方程解的个数,从而说明直线与圆锥曲线的位置关系.1.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=1(ab0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.解:(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),所以c=1,将点P(0,1)代入椭圆方程+=1,得=1,即b2=1,所以a2=b2+c2=2,所以椭圆C1的方程为+y2=1.(2)直线l的斜率显然存在,设直线l的方程为y=kx+m,由消去y并整理得,(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,因为直线l与椭圆C1相切,所以Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0,整理得2k2-m2+1=0,①由消去y并整理得,k2x2+(2km-4)x+m2=0,因为直线l与抛物线C2相切,所以Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0,整理得km=1,②综合①②,解得或2所以直线l的方程为y=x+或y=-x-.2.若双曲线E:-y2=1(a0)的离心率等于,直线y=kx-1与双曲线E的右支交于A,B两点.(1)求k的取值范围;(2)若|AB|=6,点C是双曲线上一点,且=m(+),求k,m的值.解:(1)由得故双曲线E的方程为x2-y2=1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(1-k2)x2+2kx-2=0.(*)因为直线与双曲线右支交于A,B两点,故即所以k的取值范围为(1,).(2)由(*)得x1+x2=,x1x2=,所以|AB|=·=2=6,整理得28k4-55k2+25=0,所以k2=或k2=.又1k,所以k=,所以x1+x2=4,y1+y2=k(x1+x2)-2=8.3设C(x3,y3),由=m(+),得(x3,y3)=m(x1+x2,y1+y2)=(4m,8m).因为点C是双曲线上一点,所以80m2-64m2=1,得m=±.故k=,m=±.圆锥曲线中的弦长、面积问题训练提示:解决弦长、面积问题的关键是联立直线与圆锥曲线方程,借助根与系数的关系求得弦长,选择合适的公式求解面积.3.(2015天津模拟)已知椭圆+=1(ab0)的中心为O,它的一个顶点为(0,1),离心率为,过其右焦点的直线交该椭圆于A,B两点.(1)求这个椭圆的方程;(2)若·=0,求△OAB的面积.解:(1)因为=,所以c2=a2,依题意b=1,所以a2-c2=1,所以a2-a2=1,所以a2=2,所以椭圆的方程为+y2=1.(2)椭圆的右焦点为(1,0),当直线AB与x轴垂直时,A,B的坐标为(1,),(1,-),此时·=≠0,所以直线AB与x轴不垂直.设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x-1),与+=1,联立得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,4设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),所以x1+x2=,x1x2=,M(,),因为·=0,即(x1,y1)·(x2,y2)=0,所以x1x2+y1y2=x1x2+k(x1-1)·k(x2-1)=(k2+1)x1x2-k2(x1+x2)+k2=0,即-+k2=0,所以k2=2,所以k=±,所以|AB|2=4|OM|2=4[()2+()2]=,所以|AB|=.Rt△OAB斜边高为点O到直线AB的距离d==,所以△OAB的面积为d|AB|=××=.4.(2015昆明模拟)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,M∈C,以M为圆心的圆M与l相切于点Q,Q的纵坐标为p,E(5,0)是圆M与x轴的不同于F的一个交点.(1)求抛物线C与圆M的方程;(2)过F且斜率为的直线n与C交于A,B两点,求△ABQ的面积.解:(1)由抛物线的定义知,圆M经过焦点F(,0),Q(-,p),点M的纵坐标为p,5又M∈C,则M(,p),|MF|=2p.由题意,M是线段EF的垂直平分线上的点,所以=,解得p=2,故抛物线C:y2=4x,圆M:(x-3)2+(y-2)2=16.(2)由题意知直线n的方程为y=(x-1),由解得或设A(4,4),B(,-1),则|AB|=.点Q(-1,2)到直线n:4x-3y-4=0的距离d=,所以△ABQ的面积S=|AB|·d=.圆锥曲线的轨迹问题训练提示:求动点的轨迹方程的关键:根据题目条件选择合适的方法,寻找关于动点,横纵坐标所满足的关系式.5.(2015甘肃兰州第二次监测)已知点P为y轴上的动点,点M为x轴上的动点,点F(1,0)为定点,且满足+=0,·=0.(1)求动点N的轨迹E的方程;(2)过点F且斜率为k的直线l与曲线E交于两点A,B,试判断在x轴上是否存在点C,使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立,请说明理由.解:(1)设N(x,y),则由+=0,得P为MN的中点.所以P(0,),M(-x,0).所以=(-x,-),=(1,-).6所以·=-x+=0,即y2=4x.所以动点N的轨迹E的方程y2=4x.(2)设直线l的方程为y=k(x-1),由消去x得y2-y-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=-4.假设存在点C(m,0)满足条件,则=(x1-m,y1),=(x2-m,y2),所以·=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2=()2-m()+m2-4=-[(y1+y2)2-2y1y2]+m2-3=m2-m(+2)-3.显然关于m的方程m2-m(+2)-3=0有解.即在x轴上存在点C,使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立.6.已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P、圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.解:由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶7点除外),其方程为+=1(x≠-2).(2)对于曲线C上任意一点D(x,y),由于|DM|-|DN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2.若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4),由l与圆M相切得=1,解得k=±.当k=时,y=x+代入+=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=.所以|AB|=|x2-x1|=.当k=-时,由图形的对称性可知|AB|=.综上,|AB|=2或|AB|=.8类型一:直线与圆锥曲线的位置关系1.如图,F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点,过点F1作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P,过点F2作直线PF2的垂线交直线x=于点Q.(1)若点Q的坐标为(4,4),求椭圆C的方程;(2)证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点.(1)解:将点P(-c,y1)(y10)代入+=1得y1=,PF2⊥QF2⇔·=-1,即2b2=ac(4-c).①又Q(4,4),所以=4,②c2=a2-b2(a,b,c0),③由①②③得a=2,c=1,b=,所以椭圆C的方程为+=1.(2)证明:设Q(,y2).由(1)知P(-c,).所以==-,==.所以PF2⊥QF2⇔-·=-1⇔y2=2a,9所以kPQ==.则直线PQ的方程可表示为y-=(x+c),即cx-ay+a2=0,由消去y可得a2x2+2ca2x+a4-a2b2=0.因为a0,所以x2+2cx+a2-b2=0,即x2+2cx+c2=0,此时Δ=(2c)2-4c2=0.故直线PQ与椭圆C只有一个交点.2.(2014湖北卷)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解:(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即=|x|+1.化简整理得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x0).依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组可得ky2-4y+4(2k+1)=0.(*)①当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点(,1).②当k≠0时,方程(*)根的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).(**)设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.(***)10(ⅰ)若由(**)(***)解得k-1或k.即当k∈(-∞,-1)∪(,+∞)时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点.故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.(ⅱ)若或由(**)(***)解得k∈(-1,),或-≤k0.即当k∈(-1,)时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.当k∈[-,0)时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.故当k∈[-,0)∪(-1,)时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.(ⅲ)若由(**)(***)解得-1k-或0k.即当k∈(-1,-)∪(0,)时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.综合①②可知,当k∈(-∞,-1)∪(,+∞)∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k∈[-,0)∪(-1,)时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈(-1,-)∪(0,)时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.类型二:弦长、面积及与弦中点、弦端点相关的问题3.(2015安徽卷)设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.11(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.解:(1)由题设条件知,点M的坐标为(a,b),又kOM=,从而=.进而得a=b,c==2b.故e==.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为+=1,点N的坐标为(b,-b).设点N关于直线AB的对称点S的坐标为(x1,),则线段NS的中点T的坐标为(b+,-b+).又点T在直线AB上,且kNS·kAB=-1,从而有解得b=3.所以a=3,故椭圆E的方程为+=1.4.(2015江西赣州高三模拟)已知椭圆E:+=1(ab0)的焦距为2,A是E的右顶点,P,Q是E上关于原点对称的两点,且直线PA的斜率与直线QA的斜率之积为-.(1)求E的方程;12(2)过E的右焦点作直线与E交于M,N两点,直线MA,NA与直线x=3分别交于C,D两点,设△ACD与△AMN的面积分别记为S1,S2,求2S1-S2的最小值.解:(1)设P(x0,y0),Q(-x0,-y0),则=(a2-),kPA·kQA=·==-,依题意有=,又c=1,所以解得a2=4,b2=3,故E的方程