高等代数北大版8-3

§8.3不变因子一、行列式因子二、不变因子§8.3不变因子§8.3不变因子1.定义：一、行列式因子注：阶行列式因子.k的首项系数为1的最大公因式称为的(),kD()A中必有非零的级子式，中全部级子式()Akk()A设－矩阵的秩为，对于正整数，rk1,kr()A若秩，则有个行列式因子.()Arr()A§8.3不变因子行列式因子.1)（定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的各级（即初等变换不改变－矩阵的秩与行列式因子）证：只需证，－矩阵经过一次初等变换，秩与行列式因子是不变的．2.有关结论设经过一次初等变换变成，与()B()A()f分别是与的k级行列式因子．()A()g()B下证，分三种情形：fg§8.3不变因子级子式反号.k公因式，此时的每个级子式或k()B者等于的某个级子式，k()A或者与的某个()A因此，是的级子式的k()B()f,()().ijAB①()().fg从而()().icAB②级子式的c倍.k者等于的某个级子式，或者等于的某个()Ak()A此时的每个级子式或k()B因此，是的级子式的()fk()B公因式，()().fg从而§8.3不变因子此时中包含两行()B,ij级子式相等；.ijAB③的和不包含行的那些级子式与中对应的kjk()A中包含行但不包含行的级kji()B子式，按行分成的一个级子式与另一个()Aikk级子式的倍的和，()即为的两个级子式()Ak从而()().fg的组合，因此是的级子式的公因式，k()f()B同理可得，()().gf()().fg§8.3不变因子2）若矩阵的标准形为()A1()()()00rddD其中为首1多项式，且1(),()rdd1()(),1,2,1,iiddir则的级行列式因子为()Ak12()()()(),1,2,.kkDdddkr§8.3不变因子证：与等价，()A()D完全相同，则这个级子式为零.k在中，若一个级子式包含的行、列指标不k()D()()AD与有相的秩与行列式因子.12(1,,),kiiir级子式所以只需考虑由行与列组成的12,,kiii12,,kiiik1()().kiidd即而这种级子式的最大公因式为k12()()().kddd所以，的级行列式因子()Ak12()()()(),1,2,.kkDdddkr§8.3不变因子证：设矩阵的标准形为()A3）（定理4）矩阵的标准形是唯一的.1()()()00rddD其中为首1多项式，且1(),()rdd1()(),1,2,1,iiddir§8.3不变因子于是211211()()()(),(),,()()()rrrDDdDddDD即由的行列式因子所唯一确定.1(),,()rdd()A由2），的级行列式因子为k()A12()()()(),1,2,.kkDdddkr4）秩为的矩阵的个行列式因子满足：rr1()(),1,2,,1.kkDDkr所以的标准形唯一.()A§8.3不变因子1.定义：二、不变因子矩阵的标准形()A称为的不变因子.()A12(),(),,()rddd的主对角线上的非零元素1()()()00rddD§8.3不变因子有相同的标准形，1)（定理5）矩阵、等价()()AB()()AB、有相同的不变因子.证：必要性显然.只证充分性.2.有关结论所以与等价.()()AB若与有相同的行列式因子，则()()AB与也有相同的不变因子，()()AB()()AB、有相同的行列因子.()()AB从而与§8.3不变因子则，为一非零常数.()Add的第n个行列式因子()A1.nD1()(),1,2,,1.kkDDkn证；若可逆，()A因子全部为1，的标准形为单位矩阵，即E()A与等价.E()A2）若的矩阵可逆，则的不变nn()A()A又的n个行列式因子满足:()A()1,1,2,,.kDkn§8.3不变因子从而不变因子1()()1,1,2,,()kkkDdknD所以，的标准形为()A.E矩阵的乘积.注：可逆与等价.()AE()A3)（定理6）可逆可表成一些初等()A()A§8.3不变因子证：可逆与等价()AE()A存在初等矩阵11,,,,,stPPQQ使11()stAPPEQQ11.stPPQQ存在一个可逆矩阵与一个可逆()Pssnn()()()().BPAQ推论：两个的矩阵、等价sn()()AB矩阵，使()Q§8.3不变因子例、求矩阵的不变因子2200100001A21000210200210002A§8.3不变因子22,,1.11D()A的非零二级子式为:2201,023201.01解：1）的非零1级子式为:()A2200()00001A22)1()1(00§8.3不变因子21.D又3231.DA所以，的不变因子为：A211211,1,DdDdD23321.DdD2200()00001A§8.3不变因子2）1002101,021又1223,DDDD121.DD而442.DA的不变因子为()A412341,2.dddd31.D2100021000210002A§8.3不变因子练习：求的不变因子()A1210001000000001nnaaAaa答案:111,ndd111.nnnnndAaaa