正弦定理和余弦定理应用举例 Microsoft Word 文档

1、一艘轮船按照北偏西30度,的方向以每小时45海里的速度航行,一个灯塔M原来在轮船的北偏东10度的方向,经过20分钟后,灯塔在轮船的北偏东70度方向上,求灯塔和轮船原来的距离.现在这样可以用余弦定理了cos60°=(AB^2+BC^2-AC^2）/2AB*BCBC=2a，AC=15，这样肯定能用含有a的式子表示AB然后在左边那个三角形里就能根据勾股定理求出a。但是我这种算法特别不好算，你再等等，我想一想还有什么办法。【同步教育信息】一.本周教学内容：1.正弦定理和余弦定理应用举例2.解三角形全章总结教学目的：1.能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。2.通过对全章知识的总结提高，帮助学生系统深入地掌握本章知识及典型问题的解决方法。二.重点、难点：重点：解斜三角形问题的实际应用；全章知识点的总结归纳。难点：如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。知识分析：一.正弦定理和余弦定理应用举例1.解三角形应用题的基本思路（1）建模思想解三角形应用问题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角形的边角的大小，从而得出实际问题的解。这种数学建模思想，从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解，用流程图可表示为：（2）解三角形应用题的基本思路：画图解三角形检验、结论实际问题数学问题（解三角形）数学问题的解实际问题的解2.解三角形应用题常见的几种情况：（1）实际问题经抽象概括，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解。（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个（或两个以上）三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解。（3）实际问题抽象概括后，涉及到的三角形只有一个，但由已知条件解三角形需选择使用正弦定理或余弦定理去求问题的解。注意：①解三角形应用题中，由于具体问题中给出的数据通常均为有效近似值，故运算过程一般较为复杂，可以借助于计算器进行运算，当然还应注意达到算法简练、算式工整、计算准确等要求。②如果将正弦定理、余弦定理看成是几个“方程”的话，那么解三角形应用题的实质就是把已知量按方程的思想进行处理，解题时应根据已知量与未知量，合理选择一个比较容易解的方程，从而使解题过程简洁。3.实际应用问题中有关的名称、术语在解决与三角形有关的实际问题时，经常出现一些有关的名词、术语，如仰角、俯角、方位角、方向角、铅直平面等。（1）铅直平面是指与海平面垂直的平面。（2）仰角与俯角在同一铅直平面内，视线与水平线的夹角，当视线在水平线之上时，称为仰角，当视线在水平线之下时，称为俯角（如图所示）。（3）方位角：从标准方向的北端起,顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角。方位角的取值范围为0°～360°。如：方位角是60°的图形如图。（4）方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）××度。4.解三角形应用题的一般步骤：解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确。其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理正确求解，并作答。5.熟悉三角形中有关公式解三角形主要应用正弦定理和余弦定理，有时也会用到周长公式和面积公式，比如：PabcP()为三角形的周长；Sahhaaa12()表示边上的高；SabCacBbcA121212sinsinsin；SabcR4（可用正弦定理推得）；Srabc12()（r为内切圆半径）。6.常见问题及解决办法：（1）测量一个底部不能到达的建筑物的高度的步骤：关键点：怎样克服B点不能到达带来的测量不变？CDBAαβθm方法一：（忽略测量仪器的高度）S1在地面上任取C、D两点，连接CD，AC，AD；S2测出∠ACD=α、∠ADC=β的大小及在C点测点A的仰角θ和CD的长m；S3在△ACD中，利用正弦定理求得msin()ACsinS4在Rt△ABC中，得ABACsin方法二：（忽略测量仪器的高度）ABCDαβmS1在地面上取点C、D，使C、D与AB在同一个平面内（这样可以保证B、C、D三点共线）；S2在C、D两点分别测得A点的仰角α、β及CD的长m；S3设AB=x，则由xxmtantan得mx11tantan，即为AB的长。（2）测量底面上两个不能到达的地方之间的距离的步骤：ABMNαβγθmS1在可到达之地取两点M、N，连接MN,MA,MB,NA,NB；S2测出∠ANB=α，∠BNM=β，∠AMN=γ，∠AMB=θ，及MN的长m；S3在△AMN中，利用正弦定理求得：msinANsin()在△BMN中，利用正弦定理求得：msin()BNsin()S4在△ABN中，利用余弦定理求得：22ABANBN2ANBNcos二.全章知识总结1.知识网络2.解三角形常见类型及解法在三角形的6个元素中要知三个（除三角外）才能求解，常见类型及其解法见下表：已知条件应用定理一般解法一边和二角（如a，B，C）正弦定理由A+B+C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c。SacB12sin在有解时只有一解两边和夹角（如a，b，C）余弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A+B+C＝180°求出另一角。SabC12sin在有解时只有一解三边（a，b，c）余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用A+B+C＝180°，求出角CSabC12sin在有解时只有一解。两边和其中一边的对角（如a，b，A）正弦定理由正弦定理求出角B；由A+B+C＝180°，求出角C；再利用正弦定理求出c边，SabC12sin可有两解，一解或无解。3.三角形解的个数的确定已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解，两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理。（1）利用正弦定理讨论：若已知a、b、A，由正弦定理sinsinabAB得sinsinbABa。若sin1B，无解；若sinB＝1，一解；若sinB1，两解。（2）利用余弦定理讨论：已知a、b、A，由余弦定理2222cosabcbcA，这可以看作关于c的一元二次方程。若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解。4.三角形形状的判定方法判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角（如：2sinaRA，2223cosabcabC等），利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断。此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系。如：sinA＝sinBA＝B;sin（A－B）＝0A＝B；sin2A＝sin2BA＝B或A+B＝2等；二是利用正弦定理、余弦定理，化角为边，如222sin,cos22abcaAARbc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断。5.解三角形应用题的基本思路解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决，其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题（如：测量距离、高度、角度等），然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中（目的是发现已知量与未知量之间的关系），最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答。解题时还要注意近似计算的要求。【典型例题】例1.在△ABC中，已知3,2,45,abB求边c。解析：解法1（用正弦定理）aAbBsinsinsinsinsinAaBb345232又baBAA，，或60120当A＝60°时，C＝75°cbCBsinsinsinsin27545622当A＝120°时，C＝15°cbCBsinsinsinsin21545622解法二：bacacB2222cos2323452cccos即cc2610解之，得c622点评：此类问题求解需要注意解的个数的讨论，比较上述两种解法，解法2较简单。例2.在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状。解析：解法一由正弦定理，得2sinsinsinBAC∵B＝60°，∴A+C＝120°A＝120°－C，代入上式，得260120sinsin()sinCC展开，整理得：32121sincosCCsin()CC3013090，∴C＝60°，故A＝60°∴△ABC为正三角形解法二由余弦定理，得bacacB2222cosBbac602，()cosacacac2260222整理，得()acac20，从而a＝b＝c∴△ABC为正三角形点评：在边角混合条件下判断三角形形状时，可考虑利用边化角，从角的关系判断，也可考虑角化边，从边的关系判断。例3.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长。解析：在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°由正弦定理，得ABBCAACABCsinsinsinsinsinABCACBCAAB9305910∵AD//BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC于是sinsinBADABC910同理，在△ABD中，AB＝5，sinBAD910∠ADB＝45°解得BD922故BD的长为922点评：求解三角形中的几何计算问题时，要首先确定与未知量之间相关联的量，把所要求的问题转化为由已知条件可直接求解的量上来。例4.如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B、C分别在A的正东方20km处和54km处。某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号。在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s。（1）设A到P的距离为xkm，用x表示B、C到P的距离，并求x的值；（2）求静止目标P到海防警戒线a的距离。（结果精确到0.0lkm）解析：（1）依题意，PA－PB＝1.5×8＝12kmPC－PB＝1.5×20＝30km因此PBxkmPCxkm()()1218，在△PAB中，AB＝20kmcos()PABPAABPBPAABxxxxx222222220122203325同理，cosPACxx723由于coscosPABPAC即3325723xxxx解得xkm1327（2）作PD⊥a，垂足为D，在Rt△PDA中PDPAAPDPAPABxxxkmcoscos.3325313273251771故静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71km。点评：由实际出发，构建数学模型是解应用题的基本思路。如果涉及三角形问题，我们可以把它抽象为解三角形问题，进行解答，之后再还原成实际问题，即实际问题解三角形问题三角形问题的解实际问题的解抽象概括推理演算还原说明例5.为了测量上海东方明珠塔的高度，某人站在A处测得塔尖的仰角为75.5°，前进38.5m后，到达B处测得塔尖的仰角为80.0°。试计算东方明珠塔的高度（精确到lm）。解析：由