【赢在高考】2014届高考数学第一轮复习配套课件：2.3 函数的奇偶性及周期性

目录退出第3讲函数的奇偶性及周期性目录退出考纲展示考纲解读理解函数的奇偶性,会判断函数的奇偶性.1.函数的奇偶性是高考考查的热点.2.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点,也是难点.3.题型以选择题和填空题为主,还可与函数单调性等其他知识点交汇命题.目录退出目录退出1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数关于原点对称目录退出判断函数的奇偶性主要根据定义:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x)〔或f(-x)=-f(x)〕,那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数),其中包含两个必备条件:①定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域有利于准确简洁地解决问题.②判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式〔f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)〕是否成立.目录退出2.奇偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”或“相反”).(2)在公共定义域内,①两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数;②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数;③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数.(3)若f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.目录退出3.判断函数奇偶性的步骤(1)考察函数的定义域是否关于原点对称(原点是否在定义域内不影响函数的奇偶性).(2)若定义域关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系:①若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数;②若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数;③若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数;④若存在x是定义域内的一个数,使得f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),则f(x)为非奇非偶函数.4.函数的周期性对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么f(x)是周期函数,T是它的一个周期.若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.目录退出常见结论:(1)f(x+a)=-f(x)⇒函数f(x)的最小正周期为2|a|.(2)f(x+a)=1f(x)⇒函数f(x)的最小正周期为2|a|.(3)f(x+a)=f(x+b)⇒函数f(x)的最小正周期为|a-b|.特别注意:若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)不具有周期性,但函数f(x)的图象关于x=a+b2对称.(4)y=f(x)的图象关于直线x=a及x=b对称,则y=f(x)的周期为2|a-b|.(5)y=f(x)的图象关于直线x=a及点(b,0)对称,则y=f(x)的周期为4|a-b|.(6)y=f(x)的图象关于点(a,0)及点(b,0)对称,则y=f(x)的周期为2|a-b|.其中最后三条可以通过类比正弦函数的图象来记忆.目录退出5.对称性若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)或f(x)=f(2a-x),则函数f(x)关于直线x=a对称.目录退出1.对任意实数x,下列函数为奇函数的是()A.y=2x-3B.y=-3x2C.y=ln5xD.y=-|x|cosx【答案】C【解析】A为非奇非偶函数,B,D为偶函数,C为奇函数.设y=f(x)=ln5x=xln5,则f(-x)=-xln5=-f(x).目录退出2.(2012·广东卷,4)下列函数为偶函数的是()A.y=sinxB.y=x3C.y=exD.y=lnx2+1【答案】D【解析】∵函数f(x)=lnx2+1的定义域是R且f(-x)=ln(-x)2+1=lnx2+1=f(x),∴f(x)是偶函数.目录退出3.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是()A.-13B.13C.12D.-12【答案】B【解析】依题意得a-1=-2a,b=0,解得a=13,b=0.故a+b=13+0=13.目录退出4.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值为()A.-1B.0C.1D.2【答案】B【解析】∵f(x)是在x=0处有定义的奇函数,且f(x+4)=f(x),∴f(0)=0,T=4.∴f(8)=f(0)=0.5.设函数f(x)=x3cosx+1.若f(a)=11,则f(-a)=.【答案】-9【解析】观察可知,y=x3cosx为奇函数,且f(a)=a3cosa+1=11,∴a3cosa=10.则f(-a)=-a3cosa+1=-10+1=-9.目录退出目录退出T题型一函数奇偶性的判断和证明例1判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=|x+1|-|x-1|;(2)f(x)=1-x2|x+2|-2;(3)f(x)=x(1-x),x0,x(1+x),x0.根据函数奇偶性的定义进行判断.目录退出【解】(1)函数的定义域为(-∞,+∞),关于原点对称.∵f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),∴f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数.(2)由1-x2≥0,|x+2|-2≠0,得-1≤x≤1,x≠0且x≠-4.故f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,且有x+20.从而有f(x)=1-x2x+2-2=1-x2x,这时有f(-x)=1-(-x)2-x=-1-x2x=-f(x),故f(x)为奇函数.目录退出(3)∵函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),并且当x0时,-x0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x)(x0).当x0时,-x0.∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x)(x0).故函数f(x)为奇函数.判断函数的奇偶性首先必须检验函数的定义域是否关于原点对称,然后检验对任意的x是否有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立,必要时,可对上式作变形处理:f(-x)±f(x)=0.目录退出1.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x2-x3;(2)f(x)=x2-1+1-x2;(3)f(x)=x12x-1+12.目录退出【解】(1)由于f(-1)=2,f(1)=0,f(-1)≠f(1),f(-1)≠-f(1),从而函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,又f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).∵f(-x)=-x12-x-1+12=-x2x1-2x+12=x2x2x-1-12=x12x-1+12=f(x),∴f(x)是偶函数.目录退出T题型二函数奇偶性的应用例2(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=x3+x+1,求f(x)的解析式;(2)已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,求f(2)的值;(3)已知奇函数f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]内递减,求满足:f(1-m)+f(1-m2)0的实数m的取值范围.(1)已知x0时f(x)的解析式,只需再求出x=0及x0时f(x)的表达式即可.已知f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),利用这一条件将x0时f(x)的解析式进行转化,可求得x0时f(x)的解析式.(2)中注意到函数f(x)中多项式部分x5+ax3+bx的指数均为奇数,因此可设g(x)=x5+ax3+bx.目录退出【解】(1)设x0,则-x0,用-x替换f(x)=x3+x+1中的x,得f(-x)=(-x)3+(-x)+1=-x3-x+1.又∵-x3-x+1=-f(x),即f(x)=x3+x-1.∴x0时,f(x)=x3+x-1.又f(x)是定义域为R的奇函数,故f(0)=0.∴f(x)=x3+x+1,x0,0,x=0,x3+x-1,x0.(2)设g(x)=x5+ax3+bx,则g(-x)=-g(x),∴g(x)为奇函数.又f(-2)=g(-2)-8=10,∴g(-2)=18.∴g(2)=-18.∴f(2)=g(2)-8=-26.目录退出(3)∵f(x)的定义域为[-2,2],∴有-2≤1-m≤2,-2≤1-m2≤2,解得-1≤m≤3.①又f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减,∴f(x)在[-2,2]上递减.∴f(1-m)-f(1-m2)=f(m2-1)⇒1-mm2-1,即-2m1.②综合①②可知,-1≤m1.目录退出函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式.抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式.(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数.常常采用待定系数法:利用f(x)±f(-x)=0产生关于字母的恒等式,由系数的对等性可得知字母的值.(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.目录退出2.(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则函数的解析式f(x)=.【答案】x(1+x),x≥0,x(x-1),x0【解析】设x0,则-x0,∴f(-x)=-x(1-x)=x(x-1).又f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(-x)=f(x).∴当x0时,f(x)=x(x-1).∴函数的解析式为f(x)=x(1+x),x≥0,x(x-1),x0.目录退出(2)已知函数y=f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,若f(a)≥f(2),则实数a的取值范围是.【答案】a≤-2或a≥2【解析】由已知f(x)在[0,+∞)上为增函数,且f(a)=f(|a|),∴f(a)≥f(2),即f(|a|)≥f(2).∴|a|≥2,解得a≥2或a≤-2.目录退出T题型三抽象函数的奇偶性例3已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x0时,f(x)0恒成立,f(3)=-3.(1)证明:函数y=f(x)是R上的减函数;(2)证明:函数y=f(x)是奇函数;(3)试求函数y=f(x)在[m,n](m,n∈Z)上的值域.(1)应根据函数的单调性定义进行论证,考虑证明过程中如何利用题设条件;(2)根据函数的奇偶性定义进行证明,只需证f(-x)+f(x)=0;(3)可考虑运用(1)(2)两问的结论.目录退出【解】(1)证明:设∀x1,x2∈R,且x1x2,f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1).∵Δx=x2-x10,∴f(x2-x1)0.∴f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)f(x1).故f(x)是R上的减函数.(2)证明:∵f(a+b)=f(a)+f(b)恒成立,∴令a=-b=x,则有f(x)+f(-x)=f(0).又令a=b=0,则有f(0)=f(0)+f(0).∴f(0)=0.从而∀x∈R,f(x)+f(-x)=0,∴f(-x)=-f(x).故y=f(x)是奇函数.(3)由于y=f(x)是R上的单调递减函数,∴y=f(x)在[m,n]上也是减函数.故f(x)在[m,n]上的最大值f(x)max=f(m),最小值f(x)min=f(n).由于f(n)=f[1+(n-1)]=f(1)+f(n-1)=…=nf(1),同理f(m)=mf(1).又f(3)=3f(1)=-3,∴f(1)=-1.∴f(m)=-m,f(n)=-n