二项式定理

2020/3/313March20202020/3/32课前练习:1．乘积12312312345aaabbbccccc有___项.2．展开5ab，其中23ab的系数是______.二项式定理(一)问题情景:今天是星期一,30天后是星期几？过830天后是星期几,你知道吗？453510C2020/3/33在n=1,2,3,4时，研究(a+b)n的展开式：(a+b)1=,(a+b)2=,(a+b)3=,(a+b)4=.a+ba2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b3探究：展开式中的项数、次数(a、b各自次数）、每一项的系数规律.=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)复习引入2020/3/34(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2a2abb2＝a2＋2ab＋b2共有三项021C122C221C按选出b的情况分类202122222+b（）aCaCabCb探究规律2020/3/35(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3(a＋b)3＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3a3a2bab2b3共有四项0C3C31C32C333031222333333()abCaCabCabCb按选出b的情况分类探究规律2020/3/36不作多项式运算，用组合知识来考察，展开))()()((babababa44322012344434432442434()()()()()464CCabababababaabababbaababaCCbbC探究规律2020/3/37在n=1,2,3,4时，研究(a+b)n的展开式：(a+b)1=(a+b)2=(a+b)3=a+ba2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b30111CaCb02122222CaCabCb031222333333CaCabCabCb01234444444432234()CCCabaababaCCbb探究规律2020/3/38③展开式中的系数叫做二项式系数没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明.(牛顿)nba)(11rnnrnnnrnnnababbCCC120212nnnnnnaabCbCaC①这个公式所表示的定理，叫做二项式定理.②右边的多项式叫做的展开式.nba)(nrCrn,,2,1,0④式中的叫做二项式通项，用表示，rrnrnbaC1rT即通项为展开式的第r+1项.猜想推广2020/3/39二项式定理展开式中项数、指数、系数的特点是什么？（见例3）①项数：共n+1项④顺序：注意正确选择a、b，其顺序不能更改！②指数:b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列11110()rnnnnnnnnnnrrnnnCabCCCCaabababb⑤通项公式（第r+1项）：1(0,1,2,,)nrrrnrCabnTr观察规律a的指数从n逐项递减到0，是降幂排列各项的次数都等于n，是关于a与b的齐次多项式③二项式系数：展开式中的系数叫做二项式系数nrCrn,,2,1,02020/3/310二项式定理：通项公式（第r+1项）：第r+1项的二项式系数：01111()rnnnnrrnnnnnnnnnCCCCabaabbabbCa1(0,1,2,,)nrrrnrCabnTrrnC二项式定理中，设a=1,b=x,则有1(1)1nrrnnnnnxCxCxCx特殊赋值2020/3/311例1．展开61(2)xx61(2)xx31x6543231(6419224016060121)xxxxxxx解：先将原式化简，再展开讲解例题663311(21)[2(1)]xxxx066[(2)Cx3336(2)(1)Cx1516(2)(1)Cx2426(2)(1)Cx4246(2)(1)Cx556(2)(1)Cx666(1)]C32236012164192240160xxxxxx第二项的“二项式系数”、展开式的“第二项”、“第二项的系数”、常数项是？2020/3/312练一练1、展开61xx2、设n为自然数，化简01122222121rnnnnrnrnnnnnnCCCCC解：原式=211n2020/3/313问题情景:今天是星期一,30天以后是星期几？过830天后是星期几,你知道吗？2020/3/314二项式定理展开式中a与b是用“＋”连接的，（见例3）注意正确区分二项式系数与项的系数.①项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式②顺序：注意正确选择a、b，其顺序不能更改！③指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列；b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列.11110()rnnnnnnnnnnrrnnnCabCCCCaabababb通项公式（第r+1项）：1(0,1,2,,)nrrrnrCabnTr2020/3/315作业课本P25，T1、2、3、4