二项式定理.版块一.二项展开式1求展开式中的指定项.学生版

七彩教育网教学资源免费共享平台分享资源价值七彩教育网()全国最新教学资源交流平台，自主开店、自主经营！1．二项式定理⑴二项式定理011222...nnnnnnnnnnabCaCabCabCbnN这个公式表示的定理叫做二项式定理．⑵二项式系数、二项式的通项011222...nnnnnnnnnCaCabCabCb叫做nab的二项展开式，其中的系数0,1,2,...,rnCrn叫做二项式系数，式中的rnrrnCab叫做二项展开式的通项，用1rT表示，即通项为展开式的第1r项：1rnrrrnTCab．⑶二项式展开式的各项幂指数二项式nab的展开式项数为1n项，各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数n．②字母a的按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n．⑷几点注意①通项1rnrrrnTCab是nab的展开式的第1r项，这里0,1,2,...,rn．②二项式nab的1r项和nba的展开式的第1r项rnrrnCba是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换的．③注意二项式系数（rnC）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是nab这个标准形式下而言的，如nab的二项展开式的通项公式是11rrnrrrnTCab（只须把b看成b代入二项式定理）这与1rnrrrnTCab是不同的，在这知识内容求展开式中的指定项七彩教育网教学资源免费共享平台分享资源价值七彩教育网()全国最新教学资源交流平台，自主开店、自主经营！里对应项的二项式系数是相等的都是rnC，但项的系数一个是1rrnC，一个是rnC，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,abx，则得公式：12211......nrrnnnnxCxCxCxx．⑥通项是1rTrnrrnCab0,1,2,...,rn中含有1,,,,rTabnr五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n不是很大，x比较小时可以用展开式的前几项求(1)nx的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”⑵二项式系数的性质：nab展开式的二项式系数是：012,,,...,nnnnnCCCC，从函数的角度看rnC可以看成是r为自变量的函数fr，其定义域是：0,1,2,3,...,n．当6n时，fr的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n时fr的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式mnmnnCC得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．七彩教育网教学资源免费共享平台分享资源价值七彩教育网()全国最新教学资源交流平台，自主开店、自主经营！由于展开式各项的二项式系数顺次是01211,,112nnnnnnCCC，312123nnnnC，．．．，112...2123....1knnnnnkCk，12...21123...1knnnnnknkCkk，．．．，1nnC．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...nnn），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k依次取1，2，3，…等值时，rnC的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n是偶数时，1n是奇数，展开式共有1n项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2nnC．当n是奇数时，1n是偶数，展开式共有1n项，所以有中间两项．这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122nnnnCC．③二项式系数的和为2n，即012......2rnnnnnnnCCCCC．④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2nnnnnnnCCCCCC．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．【例1】6312x的展开式中的第四项是．【例2】6xyyx的展开式中，3x的系数等于____．典例分析七彩教育网教学资源免费共享平台分享资源价值七彩教育网()全国最新教学资源交流平台，自主开店、自主经营！【例3】353121xx的展开式中x的系数是A．4B．2C．2D．4【例4】若9axx的展开式中3x的系数是84，则a．【例5】5axx()xR展开式中3x的系数为10，则实数a等于A．1B．12C．1D．2【例6】若2012(12)nnnxaaxaxax，则2a的值是（）A．84B．84C．280D．280【例7】8(2)xy的展开式中62xy项的系数是（）A．56B．56C．28D．28【例8】若554541031xaxaxaxa，则2a的值为（）A．270B．2702xC．90D．902x【例9】64(1)(1)xx的展开式中x的系数是_______（用数字作答）．【例10】在25(42)xx的展开式中，x的系数为_______（用数字作答）．七彩教育网教学资源免费共享平台分享资源价值七彩教育网()全国最新教学资源交流平台，自主开店、自主经营！【例11】在25(42)xx的展开式中，2x的系数为_______（用数字作答）．【例12】在25(42)xx的展开式中，3x的系数为_______（用数字作答）．【例13】求294(31)(21)xxx展开式中含2x项系数．【例14】在26(1)(1)(1)xxx的展开式中，2x项的系数是．（用数字作答）【例15】2345(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx的展开式中2x的系数等于________．（用数字作答）七彩教育网教学资源免费共享平台分享资源价值七彩教育网()全国最新教学资源交流平台，自主开店、自主经营！【例16】291()2xx展开式中9x的系数是_______（用数字作答）．【例17】在8(1)(1)xx的展开式中5x的系数是（）A．−14B．14C．−28D．28【例18】在(1)(2)(3)(4)(5)xxxxx的展开式中，含4x的项的系数是（）A．15B．85C．120D．274【例19】在56789(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx的展开式中，含3x项的系数是（用数字作答）【例20】求26(1)xx展开式中5x的系数．【例21】64(1)(1)xx的展开式中x的系数是_______（用数字作答）．七彩教育网教学资源免费共享平台分享资源价值七彩教育网()全国最新教学资源交流平台，自主开店、自主经营！【例22】在25(42)xx的展开式中，x的系数为_______（用数字作答）．【例23】在25(42)xx的展开式中，2x的系数为_______（用数字作答）．【例24】在25(42)xx的展开式中，3x的系数为_______（用数字作答）．【例25】求294(31)(21)xxx展开式中含2x项系数．【例26】在26(1)(1)(1)xxx的展开式中，2x项的系数是．（用数字作答）七彩教育网教学资源免费共享平台分享资源价值七彩教育网()全国最新教学资源交流平台，自主开店、自主经营！【例27】2345(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx的展开式中2x的系数等于________．（用数字作答）【例28】291()2xx展开式中9x的系数是_______（用数字作答）．【例29】在8(1)(1)xx的展开式中5x的系数是（）A．−14B．14C．−28D．28【例30】在(1)(2)(3)(4)(5)xxxxx的展开式中，含4x的项的系数是（）（A）15（B）85（C）120（D）274【例31】在56789(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx的展开式中，含3x项的系数是（用数字作答）【例32】求26(1)xx展开式中5x的系数．七彩教育网教学资源免费共享平台分享资源价值七彩教育网()全国最新教学资源交流平台，自主开店、自主经营！【例33】在二项式521xx的展开式中，含4x的项的系数是（）A．10B．10C．5D．5【例34】34(12)(1)xx的展开式中x的系数是______，2x的系数为______．【例35】411(1)xx的展开中含2x的项的系数为（）A．4B．6C．10D．12【例36】6411xx的展开式中x的系数是（）A．4B．3C．3D．4【例37】求31011xx展开式中5x的系数；【例38】在二项式521xx的展开式中，含4x的项的系数是（）A．10B．10C．5D．5七彩教育网教学资源免费共享平台分享资源价值七彩教育网()全国最新教学资源交流平台，自主开店、自主经营！【例39】6(2)x的展开式中3x的系数是（）A．20B．40C．80D．160【例40】在4(1)x的展开式中，x的系数为（用数字作答）【例41】在3333(1)11xxx的展开式中，x的系数为_____（用数字作答）【例42】91xx的二项展开式中含3x的项的系数为（）A．36B．84C．36D．84【例43】若261()xax的二项展开式中3x的系数为5,2则a．（用数字作答）七彩教育网教学资源免费共享平台分享资源价值七彩教育网()全国最新教学资源交流平台，自主开店、自主经营！【例44】设常数0a，241()axx展开式中3x的系数为32，则a＝_____．【例45】已知26(1)kx（k是正整数）的展开式中，8x的系数小于120，则k．【例46】已知5(cos1)x的展开式中2x的系数与45()4x的展开式中3x的系数相等cos．【例47】101xx的二项展开式的第6项的系数为（）A．210B．252C．210D．252【例48】若261()xax的二项展开式中3x的系数为5,2则a__________．（用数字作答）【例49】若21()nxm与2(1)(*0)nmxnmN，的展开式中含nx的系数相等，则实数m的取值范围是（）A．12(]23，B．2[1)3，C．(0)，D．(0)，七彩教育网教学资源免费共享平台分享资源价值七彩教育网()全国最新教学资源交流平台，自主开店、自主经营！【例50】已知π0s