二项式定理中展开式系数的六种常见类型

1/5二项式定理中展开式系数的六种常见类型求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。一、)()(Nnban型例1．10(2)xy的展开式中64xy项的系数是（）（A）840（B）－840（C）210（D）－210解析：在通项公式1rT1010(2)rrrCyx中令r=4，即得10(2)xy的展开式中64xy项的系数为4410(2)C=840,故选A。例2．8)1(xx展开式中5x的系数为。解析：通项公式rrrrrrrxCxxCT2388881)1()1(，由题意得5238r，则2r，故所求5x的系数为28)1(282C。评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r的值。二、),()()(Nmndcbamn型例3．843)1()2(xxxx的展开式中整理后的常数项等于.解析；342()xx的通项公式为341241442()()(2)rrrrrrrTCxCxx,令0412r，则3r,这时得342()xx的展开式中的常数项为3342C=－32,81()xx的通项公式为8821881()kkkkkkTCxCxx,令028k，则4k,这时得81()xx的展开式中的常数项为48C=70，故843)1()2(xxxx的展开式中常数项等于387032。例4．在65)1()1(xx的展开式中，含3x的项的系数是（）(A)5(B)5(C)10(D)102/5解析：5)1(x中3x的系数35C10,6)1(x中3x的系数为336(1)C20,故65)1()1(xx的展开式中3x的系数为10,故选D。评注：求型如),()()(Nmndcbamn的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。三、),()()(Nmndcbamn型例5．72)2)(1(xx的展开式中3x项的系数是。解析：7)2(x的展开式中x、3x的系数分别为617)2(C和437)2(C，故72)2)(1(xx的展开式中3x项的系数为617)2(C+437)2(C=1008。例6．811xx的展开式中5x的系数是（）（A）14（B）14（C）28（D）28略解：8)1(x的展开式中4x、5x的系数分别为48C和58C,故811xx展开式中5x的系数为458814CC,故选B。评注：求型如),()()(Nmndcbamn的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式乘法求得所求项的系数。四、)()(Nncban型例7．5)212(xx的展开式中整理后的常数项为.解法一：5)212(xx=52)12(xx，通项公式521512()2kkkkxTCx,51()2kxx的通项公式为5(5)152rrkrkrrkTCxx52552rrkkrkCx,令025kr，则52rk，可得2,1rk或1,3rk或0,5rk。当2,1rk时，得展开式中项为1122254152222CC；当1,3rk时,，得展开式中项为31152222202CC；3/5当0,5rk时，得展开式中项为554242C。综上，5)212(xx的展开式中整理后的常数项为1526322024222。解法二：5)212(xx=52)2222(xxx=552)2()2(xx=510)2()2(xx，对于二项式10)2(x中，rrrrxCT)2(10101，要得到常数项需510r，即5r。所以，常数项为22632)2(55510C。解法三：5)212(xx是5个三项式1(2)2xx相乘。常数项的产生有三种情况：在5个相乘的三项式1(2)2xx中，从其中一个取2x，从另外4个三项式中选一个取1x，从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可得11335431(2)2022CCC；从其中两个取2x，从另外3个三项式中选两个取1x，从剩余的1个三项式中取常数项相乘，可得22253115()2222CC；从5个相乘的三项式1(2)2xx中取常数项相乘，可得555(2)C=42。综上，5)212(xx的展开式中整理后的常数项为1526322024222。评注：解法一、解法二的共同特点是：利用转化思想，把三项式转化为二项式来解决。解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法原理和乘法原理，这种方法可以直接求展开式中的某特定项。五、1()()()(,,1)mmnabababmnNmn型例8．在62)1()1()1(xxx的展开式中，2x项的系数是。（用数字作答）解析：由题意得2x项的系数为352625242322CCCCC。例9．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是4/5()(A)74(B)121(C)－74(D)－121解析：(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8=5459(1)[1(1)](1)(1)1(1)xxxxxx5)1(x中4x的系数为455C，9)1(x中4x的系数为－49126C,－126+5=－121,故选D。评注：例8的解法是先求出各展开式中2x项的系数，然后再相加；例9则从整体出发，把原式看作首相为(1－x)5，公比为(1－x)的等比数列的前4项和，用等比数列求和公式减少项数，简化了运算。例8和例9的解答方法是求1()()()(,,1)mmnabababmnNmn的展开式中某特定项系数的两种常规方法。六、求展开式中若干项系数的和或差例10．若2004200422102004...)21(xaxaxaax)(Rx，则_______)()()()(20040302010aaaaaaaa。(用数字作答)解析：在2004200422102004...)21(xaxaxaax中，令0x，则10a，令1x，则1)1(200420043210aaaaa故)()()()(20040302010aaaaaaaa=20030a+200420043210aaaaa。例11．423401234(23)xaaxaxaxax，则2312420)()(aaaaa的值为（）(A)1(B)－1(C)0(D)2解析：在423401234(23)xaaxaxaxax中，令1x，可得43210aaaaa4)32(，令1x，可得43210aaaaa4)32(5/5所以，2312420)()(aaaaa=))((3142031420aaaaaaaaaa=))((4321043210aaaaaaaaaa=4)32(4)32(=1,故选A。评注：求展开式中若干项系数的和或差常采用“赋值法”。赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的，它普遍适用于恒等式，是一种重要的解题方法。实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显，巧赋特值可减少运算量。