二项式定理性质

《九章算术》杨辉《详解九章算法》中记载的表本积平方立方三乘四乘五乘商实这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a+b)n的，其中（r=0,1,2,……,n）叫做，叫做二项展开式的通项，用Tr+1表示，该项是指展开式的第项，展开式共有_____个项.rnC展开式二项式系数rrnrnbaCr+1n+1nnnrrnrn1n1nn0nnbCbaCbaCaC)ba(二项式定理)(Nn1rnrrrnabCT1615201561(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)201C11C02C12C22C03C13C23C33C05C15C25C35C45C55C(a+b)61112113311464115101051(a+b)n06C16C26C36C46C56C66C04C14C24C34C44CCn0Cn1Cn2CnrCnn……表中的每一个数等于它肩上的两数的和这个表叫做二项式系数表,也称“杨辉三角”nnnrrnrn1n1nn0nnbCbaCbaCaC)ba(二项式系数的性质（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．这一性质可直接由公式得到．mnnmnCC图象的对称轴：2nr2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系数与第五项的二项式系数相等，课堂练习1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是()A第２项B第３项C第４项D第５项则n=__________B6先增后减n是偶数时，中间的一项（第项）的二项式系数取得最大值；2nnC12n当n是奇数时，中间的两项（第项）的二项式系数和相等，且同时取得最大值。21nnC21nnC、121n121n（2）增减性与最大值二项式系数的性质16152015611112113311464115101051例1、已知的展开式中只有第10项的二项式系数最大，求第五项。nxx431依题意，为偶数，且n,18,1012nn.306014443418418145xxxCTT解：1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为；在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为.510C611C511C2.（x-2)9的展开式中，第6项的二项式系数是（）A.4032B.-4032C.126D.-126C3.在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的项的系数。462C511最大的系数呢？课堂练习462C611（3）各二项式系数的和在二项式定理中，令，则：1bannnnnn2CCCC210这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：nba)(n2同时由于，上式还可以写成：1C0n12CCCC321nnnnnn这是组合总数公式．二项式系数的性质赋值法例2.的展开式的各项系数和为____nx)12(2解：设展开式各项系数和为1注意：求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项式中的字母为1naaaa210∵上式是恒等式，所以当且仅当x=1时，(2-1)n=naaaa210∴=（2-1）n=1naaaa210nnnnaxaxax)1(21202)12(例题讲解例3、证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.3n1n2n0nCCCC即证：＝２n-1证明（a+b）n＝Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+…+Cnran-rbr+…+Cnnbn令a=1,b=-1得0)11()1()1(2nnrn2n1n0nC...C...CCCn3n1n2n0nCCCC1222nn3n1n2n0nCCCC特例法赋值法3230123220213设2x3aaxaxax.求:aa.aa2的值.1121357911111111111111_____;_____.1.nnnnCCCCCCCCC10212n课堂练习727012712713570246312).(xaaxaxaxaaaaaaaaaaa已知则-2-10941093课堂练习例4.设二项式展开式的各项系数的和为P；二项式系数的和为S，且P+S=272，则展开式的常数项为_________．nxx)13(3108n=4例题讲解20(234..),x在的展开式中求其项的最大系数.不必化简例解:设项是系数最大的项,则1r112012020201120120202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC6.126.11r项系数最大的项是第13128122032C即例题讲解（1）二项式系数的三个性质:（2）数学思想：函数思想。各二项式系数的和增减性与最大值对称性二项式系数之和:最值:（3）数学方法：赋值法、递推法21nk当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知,它的后半部是逐渐减小的。2nnC当n是偶数时，中间的一项取得最大时；21nnC21nnC当n是奇数时，中间的两项，相等，且同时取得最大值。增减性:n2(由赋值法求得)课堂小结