椭圆的定义与标准方程

1/9《椭圆的定义与标准方程》教学设计(教案)一、教材分析：1．《椭圆的定义与标准方程》是职专数学拓展模块第二章第一部分中的内容，分三课时完成.第一课时讲解椭圆的定义及其标准方程；第二课时讲解运用椭圆的定义及其标准方程解决简单问题，巩固求曲线方程的方法；第三课时讲解椭圆的几何性质，培养和提升学生的数形结合的思想和能力。本节是第一课时。2．本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究平面曲线。椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础.因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。3．运用多媒体形象地给出椭圆，通过让学生动手作图，利用几何画板工具形象的做出图形，“定性”地画出椭圆，再通过坐标法“定量”地描述椭圆，使之从感性到理性抽象概括，形成概念，推出方程。二、教学目标分析：知识与技能目标1、从具体情境中抽象出椭圆模型。2、建立直角坐标系，根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程能根据已知条件求椭圆的标准方程。过程与方法目标1、让学生感知数学知识与实际生活的密切联系，培养解决实际问题2/9的能力，培养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力。2、提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。情感态度与价值观目标1、亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶。2、通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。3、培养学生自主学习的能力。以仙女座星系、“神舟7号”有关材料，激发学生学习数学的兴趣，增强学生的数学应用意识、创新意识，扩展学生的数学视野，并让学生受到爱国主义思想的教育。重点：椭圆的定义和标准方程。难点：椭圆标准方程的推导及标准方程的应用。三、学习者特征分析1．在此之前，学生已学过坐标法解决几何问题，学过圆的定义与标准方程，但掌握不够。2．从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在障碍.3．在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，而这些在目前学生的学习能力不能完全满足学习本节课的需要。4．职业中专的学生，数学基础整体较差。5．经过近一年的引导、鼓励，学生学习数学的积极性有了提高。四、教学策略选择与设计1、教法设计：采用启发式教学，在课堂教学中坚持以教师为主导，学生为主体的原则。3/92、学法设计：自主探究，合作交流要求学生积极动手做实验，自主探究，合作交流，抽象出椭圆定义，并用坐标法探究椭圆的标准方程，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。3、教学手段：多媒体辅助教学.通过动态演示，几何画板的操作演示，有利于引起学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，增大知识信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量.五、教学资源与工具设计1．多媒体教室2．每个学生准备一段细线、两枚大头针或图钉3．上网搜索有关神舟系列火箭运行轨迹图六、教学设计(一)创设情景，提出课题Ppt图片：仙女座星系、“神舟7号”围绕地球运行轨迹、现实生活中的物件是什么图形？问题：如何做出这些图形？(二)自主探究，形成概念[问二]椭圆是满足什么条件的轨迹呢？教师引导：要想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹，首先要知道椭圆的画法。于是让学生拿出课前准备好的一块纸板，一段细绳，两枚图钉，按课本上介绍的方法，同桌间相互磋商、动手绘图，4/9教师巡视，使学生尝试到成功的喜悦。然后教师用Flash演示实验，提示学生思考轨迹满足的规律，并进一步通过几何画板验证规律的准确性，使学生形成椭圆的概念。（三）形成概念，归纳定义定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。在归纳定义时，再次强调定义要满足三个条件：①平面内（这是大前提）；②任意一点到两个定点的距离的和等于常数；③常数大于|F1F2|.（四）探究椭圆的标准方程（师生共同探究）一.求曲线方程的一般步骤是什么？二.建立坐标系的一般原则有哪些？学生围绕以上问题思考，讨论可得：求曲线方程的一般步骤——建系、设点、写出点集、列出方程、化简方程、证明（可省略）.建系的一般原则为：使已知点的坐标和曲线的方程尽可能简单，即原点取在定点或定线段的中点，坐标轴取在定直线上或图形的对称轴上，充分利用图形的对称性.三.怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？通过前面知识的回忆，学5/9生思考、相互交流，很容易选定下列建立坐标系的方案.1.建系：以两定点F1、F2的连线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立坐标系，如图12.设点：设M(x,y)为椭圆上任意一点，|F1F2|=2c(c0)，则有F1（－c,0）、F2(c,0).又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a(a0).3.列出方程aycxycx2(2222）（）到此为止，学生以为椭圆的方程已求出，此时教师可以指出：为了更进一步利用方程探讨椭圆的其他性质需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化.4.化简方程：学生对含有两个根式之和的等式进行化简有一定困难，采用以下方法突破难点：首先让学生明确，含根号的等式化简的目的就是要去掉根号，变无理式为有理式；启发学生，化简含两个根式之和的等式，只要将两个根式分别放在等号两边，其中一边只含一个根式，平方一次后即可转化为只含一个根式的化简问题.教师引导学生化简，得到(a2－c2)x2+a2y2=a2(a2－c2).指出：此方程形式还不够简捷，还有变形的必要再简化。先简化a2-c2，∵ac,∴a2-c20,令a2-c2＝b2，则方程化为b2x2+a2y2=a2b2，联想到直线截6/9距式方程，两边同除以a2b2得，12222byax（ab0）指出：方程12222byax（ab0）叫做椭圆的标准方程，此时，椭圆的焦点在x轴上，F1(-c,0)F2(c,0),这里，c2=a2-b2四.如果焦点F1、F2在y轴上，并且点O与线段F1F2的中点重合，a、b、c的意义同上，椭圆的方程形式又如何呢？学生互相讨论，交流，合情猜想，动手验证可得12222bxay（ab0）指出：12222bxay（ab0）叫做椭圆的标准方程，此时，椭圆的焦点在y轴上，F1(0,-c)，F2(0,c),这里，c2=a2-b2（五）归纳总结为了加深对椭圆的两种标准方程的理解，（1）比较椭圆的两种标准方程，填表.（学生讨论回答，教师板书）不同点标准方程图形焦点坐标共定义7/9同点a、b、c的关系焦点位置的判定（2）.（六）初步应用，强化理解例1：求两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），其上的一点P到两焦点距离的和等于10的椭圆的标准方程。解析过程略去。8/9（七）课堂总结，作业巩固9/9(八)课后反思本节课围绕“层层设问----自主探索----发现规律----归纳总结”这一主线展开，对教材内容进行优化组合，在教学过程中，学生通过观看图片，动手实践，自己总结出椭圆定义，符合从感性上升为理性的认知规律，而且提升了抽象概括的能力.同时在进行推导椭圆的标准方程的过程中，提高了利用坐标法解决几何问题的能力及运算能力.