椭圆的标准方程(1、2课时)

第二章圆锥曲线与方程用垂直于圆锥的轴平面截圆锥，截口曲线是——圆，改变平面与圆锥轴线的夹角得到的图形是什么？圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.行星绕太阳运行轨道是椭圆；探照灯反射镜面是抛物线绕对称轴旋转形成抛物面；发电厂冷却塔外形是双曲线.天体的运行如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？生活中的椭圆一.课题引入：湖南长郡卫星远程学校取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆.F1F2M湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校平面内与两个定点的距离和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．12,FF12||FF二.讲授新课：F1F2M1.椭圆定义：两定点距离|F1F2|——焦距（一般用2c表示）绳长|MF1|+|MF2|=2aF1、F2——焦点注：2、椭圆标准方程的推导：思考：如何建立椭圆的方程？建系设点寻求条件化简方程代数方程根据求曲线方程的一般步骤：♦探讨建立平面直角坐标系的方案建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”OxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyM2.求椭圆的方程：xF1F2M0y解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a2c)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).（问题：下面怎样化简？）aMFMF2||||21222221)(||,)(||ycxMFycxMFaycxycx2)()(2222得方程由椭圆的定义得，限制条件：代入坐标222222bayaxb22ba两边除以得).0(12222babyax设所以即,0,,2222cacaca),0(222bbca由椭圆定义可知整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx222)(ycxacxa2222222222422yacacxaxaxccxaa两边再平方，得)()(22222222caayaxca移项，再平方)0(12222babxay总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式012222babyax焦点在y轴：焦点在x轴：3.椭圆的标准方程:1oFyx2FMaycxycx2)()(2222axcyxcy2)()(222212yoFFMx012222babyax012222babxay图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a(2a2c0)定义12yoFFMx1oFyx2FM注:共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.2x2y焦点在x轴的椭圆项分母较大.焦点在y轴的椭圆项分母较大.焦点位置的判断方法例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2），并且椭圆经过点（）。2523，例2、已知B、C是两个定点，|BC|=6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。OxyABC11625)2(22yx11)3(2222mymx11616)1(22yx0225259)4(22yx123)5(22yx11624)6(22kykx练习1.下列方程哪些表示椭圆？22,ba若是,则判定其焦点在何轴？并指明，写出焦点坐标.?练习2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5；2212516yx2216xy(1)a=,b=1,焦点在x轴上；6(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点；(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).2211612xy22xy+=149小结：求椭圆标准方程的步骤：①定位：确定焦点所在的坐标轴；②定量：求a,b的值.练习3.已知椭圆的方程为：，请填空：(1)a=__，b=__，c=__，焦点坐标为___________，焦距等于__.(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，并且CF1=2,则CF2=___.1162522yx变式：若椭圆的方程为,试口答完成（1）.14491622yx5436(-3,0)、(3,0)8116922yx练习4.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是.22xy+=14m(0,4)变1：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是.22xy+=1m-13-m(1,2)变2：方程，分别求方程满足下列条件的m的取值范围：①表示一个圆；②表示一个椭圆；③表示焦点在x轴上的椭圆。1m16ym25x22＝＋＋－