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46第4章方差分析正交试验设计47多快好省地生产,科学地生产,化最少的成本,谋取最大的效益,是人们不懈的追求!现有的生产过程能否改进?产品的质量是否还能提高?让我们从《方差分析》《正交试验设计》中去寻找答案吧48引例寻找某化工产品的最佳生产方案水平1水平2水平3808590354855甲乙丙因素温度加硷量催化剂0()C()kg安排9次试验,结果如下:49试验号温度加硷量催化剂收率111151%212271%313358%422182%532269%612359%733177%813285%923384%50§4.1一元方差分析§4.1一元方差分析用于考察某因素(多水平)对试验结果有无显著影响.不同体育活动对儿童身高有无显著影响.例11128113411331140813891274身高()mm活动2150314791368150712601558314061431144514851437146451参与每一种体育活动的学生身高指标2~(,),iiXN设等方差母体作假设t可用检验法.构成一个母体,共有3个母体,从各母体中取一子样(容量可以不等).即检验3个母体检验不同体育活动对儿童身高有无显著影响,均值是否相等.一般数学模型抽象为1,2,,.ir012:.rH检验次,很繁.1r故采用离差分解法.检验相邻两母体均值是否相等,需要52组内平均11,iniijjiXXn将每个子样看成一个组1,2,,.irEQ离差分解式总平均111inrijijXXn1.riinn11,riiinXn总离差平方和TQ21()riiinXXAQ记成211()inrijiijXX组内离差平方和组间离差平方和53推导211()inrTijijQXX211[()()]inrijiiijXXXX112()()inrijiiijXXXX211()inrijiijXX12()riiXX211()inrijiijXX211()inriijXX21()riiinXX1()inijijXX0EQAQ记成反映各组内ijX由引起的抽样误差2反映组间各母体均值不同引起的误差加上抽样误差推导54分解定理(柯赫伦定理)nXX,,1的非负二次型,则证必要性显然,下证充分性.分解定理设,12niiX),1,0(~,,1NXXn...iidkiiQ1其中iQki,,2,1,)(~2iifQ...iid是秩为if的.1kiinf设.1kiinf由于iQ的秩为,if故存在线性变换,1nlljljXpYiiifffffj1111,,155iiifffffjjiYQ111112使得记,1nXXX,1nYYY,1111nnnnppppP则有,PXY由于njjY12kniiQQX112,即PXPXYYXXTTTTIPPTP为正交阵PXY为正交变换,由正态变量在正交变换下的不变性得),1,0(~,,1NYYn...iid,)(~2iifQ...iid.,,2,1ki)1(由(1)式得56,ijiijX通过比较,ii0.HTEAQQQ离差分解式和EQAQ的数值来检验假设先计算EEQAEQ和令1,2,,,ijn1,2,,.ir其中令11,riiinn1.riinn记则,ii1,2,,.ir2~(0,).ijN...iid10.riiin于是57进而令于是,,ijiijX1,2,,,ijn1,2,,.ir11,iniijjin111.inrijijn和EQAQ可表示成21()rAiiiiQn211()inrEiijiiijQ211()inrijiij21()riiiin21riiin21()riiinriiiin1)(258rinjiijEiEEQ112)(riiijnjiE121)(riiijnjiD11)(rinjiiinn1211riin12)1(.)(2rnriiiAnEQ12riiiEn12)(riiiiriiDnn121)(riiiiriinnnn122111.)1(221rnirii59显然故,2rnQEE22111iiAnrrQE.22EAESESrnQSEE2记称组内均方离差12rQSAA称组间均方离差60计算各平方和的自由度211()inrTijijQXX的自由度为,1nriiijnjEXXQi121)(的自由度为,rnriiiAXXnQ12)(的自由度为.1r对n个变量,XXij仅有1个约束条件111inrijijXXn11,iniijjiXXn1,2,,.irr个约束条件是1个线性约束条件:0)]([1riiiiXXnn61由此得).(~22rnQE),,(~2NXji...iid因此).1(~22nQT当假设为真时,各0H由分解定理得).1(~22rQA且2EQ与相互独立,2AQ由F分布的定义,2222/(1)~(1,)/()AAEEQrSFFrnrQnrS62给定显著性水平,当假设0H不成立时,成立时,22.AEESES.22EAESES使)),1((rnrFFP若由子样值计算的数值,F),1(rnrFF),1(rnrF则拒绝0,H接受计算的数值用方差分析表F因素对结果有影响无影响63单因素方差分析表方差来源组间组内总和F值22EASSF自由度1nrn1r均方离差rnQSEE212rQSAAriiiAXXnQ12)(riiijnjEXXQi121)(EATQQQ离差平方和方差分析表64ririiiiASnnSQ1212)(1/riiriiiEnSSSQ112/TQ离差平方和的常用计算式riiSS121)(1riiSn其中injijixS1injijixSS12第个子样观察值之和i第个子样观察值之平方和i常用计算式65例1例1给定,%5考察不同体育活动对儿童身高有无显著影响.解2~(,),iiXN设.3,2,1i作假设.:3210H按题意.18,6,3321nnnnr,80246111jjxS,86756122jjxS,86686133jjxS,1074566461211jjxSS,1260388761222jjxSS.1252611261233jjxSS66312312)(1/iiiiiASnnSQ1.465884.357491495.3579573731312/iiiiiEnSSSQ5.799255.35795737358756632)25367(181614774425EATQQQ.6.12651367单因素方差分析表组间组内总和37.4F7115237.532805.23294分析表1.465885.79925F方差来源值自由度均方离差离差平方和6.126513查附表(P.270)得因为,)15,2(05,0FF拒绝,0H即认为不同体育活动对儿童身高有显著影响.0,05(2,15)3.68.F68若假设0H不成立,211)(,~knnkikiNXXki有时需要对作区间估计.由1,0~)(11NXXZkinnkiki)(~22rnQYE又故)(~)()/(11rntSXXrnYZTEnnkikiki69ki于是的置信度为1的置信区间为,)((112EnnkiSrntXXki))(112EnnkiSrntXXki70例2例2对例1中任两母体均值差作区间估计,解,3.133768024111nSX,8.144568675222nSX7.144468668333nSXrnQSEE6.81125.799251788.2)12()(025.02trnt取.%571,3/6.811788.28.14453.1337(313221的置信度为%95.0的置信区间为)3/6.811788.28.14453.1337)85.5,15.211(的置信度为的置信区间为)75.4,05.210(的置信度为的置信区间为)75.103,55.101(%95.0%95.0相仿得简化计算对观察值作变换.0,)(bcxbyjijiririiiiASnnSQ1212)~(1/~~riiriiiEnSSSQ112/~~~~其中injijiyS1~injijiySS12~~TQ~riiSS1~~21)~(1riiSn方差分析的简化计算rnQSEE~~21~~2rQSAA22~~EASSF73111inrijijXXn,27.1409.1,1410bc解例1取1-129-69-79-2-21-136身高()mm活动29369-4297-1501483-42135752754作变换,1410jijixy得下表74解作假设.:3210H按题意.18,6,3321nnnnr,436~6111jjyS,215~6122jjyS,208~6133jjyS,46584~~61211jjySS,68987~~61222jjySS.10952~~61233jjySS751.465884.95.4659731312/~~~~iiiiiEnSSSQ5.799255.465971265232)13(1816279585EATQQQ~~~312312)~(1/~~iiiiiASnnSQ.6.126513最终所得数据与例1完全一样.76误差平方和的分解riiriiiEnSSSQ112/riiiinSSS12)/(riEiQ1iiiEinSSSQ/2分误差平方和总误差平方和第i个水平的误差平方和误差方差2的估计式.ˆ2rnQfQEEE77例3例3在单因子试验中,因子A有3个水平,每个水平下重复次数分别为4,5,6.则误差平方和、A的平方和及总的平方和的自由度各是多少?78解因子水平数误差平方和总试验次数n=4+5+6=15,因而有EQ的自由度,12rnfE因子A平方和AQ的自由度,21rfA总平方和TQ的自由度.141nfT,3r79例4例4在单因子试验中,因子A有4个水平,每个水平下各重复3次试验,已知每个水平下,试验结果的子样标准差1.52.01.61.2(1)求误差平方和;EQ(2)求误差方差2的估计值.分别为)4~1(iSi80解因子水平数每个水平下的试验EQ于是,4r,3m次数由以下各水平下的误差平方,5.45.1)13()1(2211SmQE组成:,82)13()1(2222
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