2013-2014版高中数学(人教A版)必修2 圆的一般方程

课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练4．1.2圆的一般方程课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练【课标要求】1．正确理解圆的一般方程及其特点．2．会由圆的一般方程求其圆心、半径．3．初步掌握点的轨迹方程的求法，并能简单应用．【核心扫描】1．依据不同条件利用待定系数法求圆的一般方程，并能简单应用．(重点)2．会用配方法对圆的标准方程和一般方程进行互化．(难点)3．准确理解方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0及其表示的图形．(易混点)课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练自学导引1．圆的一般方程二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当时，该方程叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程下的圆心和半径圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示圆的圆心为－D2，－E2，半径长为12D2＋E2－4F.D2＋E2－4F＞0课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练想一想：所有形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程都表示圆吗？提示不是，只有当D2＋E2－4F＞0时才表示圆，D2＋E2－4F取值不同，对应图形如下表.课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练方程条件图形D2＋E2－4F＜0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示坐标为(－D2，－E2)的点x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F＞0表示以(－D2，－E2)为圆心，以12D2＋E2－4F为半径的圆课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练名师点睛1．圆的一般方程的概念及判定形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：(1)由圆的一般方程定义判断D2＋E2－4F是否为正，若D2＋E2－4F＞0，则方程表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方变形成标准形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练2．求圆的一般方程(1)求圆的方程时，若已知条件中明确圆心的坐标或半径，则设圆的标准方程求解；若已知条件中没有明确圆心坐标或半径大小，则设圆的一般方程求解．(2)由于圆的一般方程中所含的三个待定系数不是二次项的系数，在由三个独立条件列出方程组后，一般可求出待定系数D，E，F.(3)若求圆心和半径，则可以将圆的一般方程配方成圆的标准方程，再写出圆心坐标和半径．另外在解答圆的有关问题时，应注意利用圆的平面几何的性质，使运算简化．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练题型一圆的一般方程的概念【例1】下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－5x＝0.[思路探索]可以直接判断D2＋E2－4F的符号，也可以通过配方得到“标准方程”形式，进而解决问题．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练解(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆．(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项，∴它不能表示圆．(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圆．(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为x－542＋y2＝542，∴它表示以54，0为圆心，54为半径的圆．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练规律方法研究A1x2＋A1y2＋D1x＋E1y＋F1＝0表示什么曲线，通常是等号两边先同除以A1，转化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，然后可以朝着圆的标准方程方向直接配方求解，也可以利用公式法研究D2＋E2－4F的符号来判断方程表示圆、点或不表示任何图形．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练【变式1】方程x2＋y2＋x＋2y＋a－1＝0表示圆，试求实数a的范围．解由方程表示圆得，D2＋E2－4F＝12＋22－4(a－1)＝9－4a＞0，解得a＜94，即a的取值范围是－∞，94.课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练题型二求圆的一般方程【例2】已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标．[思路探索]先设其外接圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，然后把三个点的坐标代入方程，得关于D、E、F的方程组，解方程组得D、E、F的值代入原方程即可．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练解设其外接圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.把A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)代入上述方程，整理得5E＋F＋25＝0，D－2E＋F＋5＝0，3D＋4E－F－25＝0.解得D＝6，E＝－2，F＝－15则所求圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0.配方，得(x＋3)2＋(y－1)2＝25.所以其外接圆的圆心是(－3,1)，即外心坐标为(－3,1)．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练规律方法应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练【变式2】如图，等边△ABC的边长为2，求这个三角形的外接圆的方程．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练解由已知得等边△ABC三个项点A，B，C的坐标分别为A(0，3)，B(－1,0)，C(1,0)．设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得3＋3E＋F＝0，1－D＋F＝0，1＋D＋F＝0，解得D＝0，E＝－233，F＝－1.即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－233y－1＝0.课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练题型三求动点的轨迹方程【例3】已知线段AB的端点B的坐标为(8,6)，端点A在圆C：(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？审题指导课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练[规范解答]设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)，由于点B的坐标为(8,6)，且P为AB中点，所以x＝x0＋82，y＝y0＋62.(2分)于是有x0＝2x－8，y0＝2y－6.(4分)∵点A在圆C上运动，∴点A的坐标满足方程：(x＋1)2＋y2＝4，即(x0＋1)2＋y20＝4.(7分)∴(2x－8＋1)2＋(2y－6)2＝4，整理得x－722＋(y－3)2＝1.(10分)∴点P的轨迹是以72，3为圆心，1为半径的圆．(12分)课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练【题后反思】(1)求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标(x，y)所满足的等量关系，并把这个方程化成最简形式，如果题目中无坐标系，就先要建立适当的直角坐标系．(2)轨迹与轨迹方程不同，前者是曲线，后者是方程，但要求轨迹往往先求轨迹方程．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练【变式3】已知一动点P到两个定点A(0,0)，B(3,0)的距离之比为12，求动点P的轨迹方程，并说明轨迹的图形．解设动点P的坐标为(x，y)，则点P(x，y)满足|PA||PB|＝12，即x2＋y2x－32＋y2＝12，化简得x2＋y2＋2x－3＝0.即(x＋1)2＋y2＝4，所以动点P的轨迹是以点(－1,0)为圆心，以2为半径的圆．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练误区警示因忽略隐含条件致误【示例】已知定点A(a,2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，求a的取值范围．[错解]∵点A在圆外．∴a2＋4－2a2－3×2＋a2＋a＞0，∴a＞2.课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练本题错解的根本原因在于没有把握住圆的一般式方程的定义．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时，需D2＋E2－4F＞0，所以，本题除了点在圆外的条件以外，还应注意方程表示圆这一隐含条件．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练[正解]∵点A在圆外，∴a2＋4－2a2－3×2＋a2＋a＞0，－2a2＋－32－4a2＋a＞0，∴a＞2，a＜94，即2＜a＜94，∴a的取值范围是2＜a＜94.课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练当圆的一般方程含有参数时，一定考虑D2＋E2－4F＞0这一条件，否则会导致错误．课前探究学习课堂讲练互动活页限时训练单击此处进入活页限时训练