启帆中考复习资料《解直角三角形》课件 (共41张PPT)

中考复习----三角函数与解直角三角形分类考点说明三角函数与解直角三角型（1）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA,cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值。（2）能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。年份及考查知识点题型及分值考点分析201313对本部分的考察一般考察特殊角的三角函数，一是在实数运算中考察，而是在分式的化简求值中考察。解直角三角形考察方式，一是单独考察直角三角形的边角关系，二是结合函数和相似三角形考察，三是解直角三角形的应用，考查分值大概在3~10分之间。20147题18题20158题④16题考试能力要求：能利用已知三角函数值，进行计算和化简。了解正弦余弦和正切间的关系解决问题。同时能利用锐角三角函数解决实际问题。课时目标：能利用已知三角函数值，进行计算和化简。了解正弦余弦和正切间的关系解决问题。同时能在实际问题中找到直角三角形，利用锐角三角函数解决实际问题。知识梳理知识梳理锐角三角函数1、锐角三角函数的定义⑴、正弦；⑵、余弦；⑶、正切。2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值。3、各锐角三角函数间的函数关系式⑴、互余关系；⑵、平方关系；⑶、相除关系。4、解直角三角形⑴、定义；⑵、直角三角形的性质①、三边间关系；②、锐角间关系；③、边角间关系。⑶、解直角三角形在实际问题中的应用。锐角三角函数的定义知识梳理特殊角的三角函数值1知识梳理解直角三角形知识梳理坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度，即i＝hl＝tanα，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡；方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角．注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东．知识梳理3．同角三角函数之间的关系：sin2α＋cos2α＝__1__；tanα＝__sinαcosα__．互余两角的三角函数关系式：(?为锐角)sin(90°－?)＝__cosα__；cos(90°－?)＝__sinα__．函数的增减性：(0°＜?＜90°)(1)sinα，tanα的值都随?__增大而增大__；(2)cosα随?__增大而减小__．知识梳理基础检测1、[2014·威海]如图22－1，在网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是()图22－1A.31010B.12C.13D.10102、已知∠A为锐角，sinA＝，求cosA、tanA的值。1715DcosA=3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，求∠A的三角函数值。①a=9b=12②a=9b=124、在△ABC中，AB=AC＝4，BC=6，求∠B的三角函数值5、如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大100倍,tanA的值（）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定6、[2014·凉山州]在△ABC中，若＋(1－tanB)2＝0，则∠C的度数是(D)A．45°B．60°C．75°D．105°C考点分类对应精练类型之一求三角函数值[2013·四川]如图23－1所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为()图23－1A.12B.55C.1010D.255B思路分析：解决与网格有关的三角函数求值题的基本思路是从所给的图形中找出直角三角形，确定直角三角形的边长，依据三角函数的定义进行求解．[解析]利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．如图：连结CD交AB于O，根据网格的特点，CD⊥AB，在Rt△AOC中，CO＝12＋12＝2，AC＝12＋32＝10，则sinA＝OCAC＝210＝55.故选B.类型之二特殊锐角的三角函数值的应用命题角度：1.30°、45°、60°的三角函数值；2.已知特殊三角函数值，求角度．[2012·济宁]在△ABC中，若∠A、∠B满足cosA－12＋sinB－222＝0，则∠C＝________.75°[解析]∵cosA－12＋sinB－222＝0，∴cosA－12＝0，sinB－22＝0，∴cosA＝12，sinB＝22，得∠A＝60°，∠B＝45°，则∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－45°＝75°，故答案为75°.类型之三解直角三角形命题角度：1.利用三角函数解直角三角形；2.将斜三角形或不规则图形化归为直角三角形．[2010·潍坊]路边路灯的灯柱BC垂直于地面，灯杆BA的长为2米，灯杆与灯柱BC成120°，锥形灯罩的轴线AD与灯竿AB垂直，且灯罩轴线AD正好通过道路路面的中心线(D在中心线上)．已知点C与点D之间的距离为12米，求灯柱BC的高．(结果保留根号)图23－2解：过A作AH⊥CD于H，过点B作BE⊥AH于E，∴四边形BCHE为矩形．∵∠ABC＝120°，∴∠ABE＝30°，又∠BAD＝∠AHD＝90°，∴∠D＝∠BAE＝60°.∴在Rt△AEB中，AE＝AB·sin30°＝2×12＝1，BE＝AB·cos30°＝2×32＝3＝CH.又CD＝12，∴DH＝12－CH＝12－3.思路分析：作三角形的高，将非直角三角形转化为直角三角形，是解直角三角形常用的方法．在Rt△AHD中，tan∠ADH＝AHHD＝1＋EH12－3，即tan60°＝1＋EH12－3.∴3＝1＋EH12－3，1＋EH＝123－3，∴EH＝123－4.∵四边形BCHE为矩形．∴BC＝EH＝123－4.答：灯柱BC的高为(123－4)米.例3[2014·株洲]如图22－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点(AF＞BF)．(1)求证：△ACE≌△AFE；(2)求tan∠CAE的值．图22－2(1)证明：∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠FAE.又∵∠C＝90°，EF⊥AB，∴EC＝EF，∠EFA＝90°，∴∠C＝∠EFA，∴△ACE≌△AFE(AAS)．(2)∵点F是AB的三等分点(AF＞BF)，∴设BF＝1，则AF＝2.由(1)，得AC＝AF＝2.再设CE＝2x，则EF＝2x，∵sinB＝ACAB＝EFEB＝23，∴BE＝3x，∴BC＝5x.∵AC2＋BC2＝AB2，∴22＋(5x)2＝32，解得x＝55.∴tan∠CAE＝CEAC＝55.过关检测1、(2015·武汉)如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D.若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是()A.51213B.125C.3513D.2313【点评】本题主要考查了三角函数的定义及相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是找准线段及角的关系．B2．(2013·兰州)△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是()A．csinA＝aB．bcosB＝cC．atanA＝bD．ctanB＝bA3、(1)(2015·菏泽)计算：2－1－3tan30°＋(2－1)0＋12＋cos60°.(2)(2015·攀枝花)在△ABC中，如果∠A，∠B满足|tanA－1|＋(cosB－12)2＝0，那么∠C＝____．75°解：(1)原式＝12－3×33＋1＋23＋12＝2＋3【点评】利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合．准确地记住三角函数值是解决此类题目的关键，所以必须熟记．2．(2015·孝感)式子2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2的值是()A．23－2B．0C．23D．2B(2012·安徽)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23，求AB的长．3、解：过点C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝23，∴CD＝AC×sinA＝23×0.5＝3，AD＝AC×cosA＝23×32＝3，在Rt△BCD中，∠B＝45°，则BD＝CD＝3，∴AB＝AD＋BD＝3＋34、(2015·陕西)如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65°方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向正东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45°方向(点A，B，C在同一水平面上)．请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离(结果精确到1米)．(参考数据：sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin65°≈0.9063，cos65°≈0.4226，tan65°≈2.1445)解：如图，作CD⊥AB交AB的延长线于点D，则∠BCD＝45°，∠ACD＝65°，在Rt△ACD和Rt△BCD中，设AC＝x，则AD＝xsin65°，BD＝CD＝xcos65°，∴100＋xcos65°＝xsin65°，∴x＝100sin65°－cos65°≈207(米)．∴湖心岛上的迎宾槐C处与凉亭A处之间距离约为207米5．(2015·宁夏)在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sinB＝13，AD＝1.求BC的长．解：在Rt△ABD中，∵sinB＝ADAB＝13，又∵AD＝1，∴AB＝3，∵BD2＝AB2－AD2，∴BD＝32－12＝22.在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1.∴BC＝BD＋DC＝22＋1(2015·广安)为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB长602米，坡角(即∠BAC)为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE(下面两个小题结果都保留根号)．6、【点评】此题考查了坡度、坡角问题以及俯角、仰角的定义．要注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形；注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．(1)若修建的斜坡BE的坡比为3∶1，求休闲平台DE的长是多少米？解：(1)∵FM∥CG，∴∠BDF＝∠BAC＝45°，∵斜坡AB长602米，D是AB的中点，∴BD＝302米，∴DF＝BD·cos∠BDF＝302×22＝30(米)，BF＝DF＝30米，∵斜坡BE的坡比为3∶1，∴BFEF＝31，解得EF＝103(米)，∴DE＝DF－EF＝30－103(米)．答：休闲平台DE的长是(30－103)米(2)一座建筑物GH距离A点33米远(即AG＝33米)，小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B，C，A，G，H在同一个平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？设GH＝x米，则MH＝GH－GM＝x－30(米)，DM＝AG＋AP＝33＋30＝63(米)，在Rt△DMH中，tan30°＝MHDM，即x－3063＝33，解得x＝30＋213，答：建筑物GH的高为(30＋213)米7．(2015·邵阳)一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．(温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)解：过点C作CD⊥AB交AB延长线于D.在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝80海里，∴CD＝12AC＝40海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB＝90°，∠CBD＝90°－37°＝53°，∴BC＝CDsin∠CBD≈400.8＝50(海里)，∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为50÷40＝54(小时)拓展提高题8、(2015·青岛)如图