高中物理奥赛辅导专题PPT--05力学守恒律

1奥赛典型例题分析(力学守恒律)2图1F1.如图1所示，一截面为圆形的细管被弯成半径为R的圆环，此圆环的内外半径几乎相同，现把这圆环固定在竖直平面，一小球原来位于环中最低处，小球在拉力F作用下以匀速率v沿圆环从最低点运动到最高点，拉力F的方向始终沿圆环的切线方向，若小球与管内外壁的摩擦因数为μ，管内内壁光滑，试求小球沿圆环从最低点到最高点过程中，拉力F所做的功.（小球的质量为m，拉力F的大小未知）3例1解：因为F的大小未知，所以不能直接用F来求功.但可利用动能定理来求.图1FAB对于小球从A→B过程，据动能定理得0fGFAAA故)1(fGFAAA其中重力的功为)2(2mgRAG因为摩擦力是变力，所以，本题的关键是如何求出摩擦力的功Af.下面利用对称性来求.RvmmgN2cosOxyCC如图所示，当小球运动到θ角位置时，有Nmgf4RvmmgN2cosOxyCC图1FAB故)3()(cos2RgvmgN当N0时，表示小球与环外壁接触，且受到环外壁的支持力作用,因外壁粗糙，那么此时小球就会受到摩擦力的作用；而N0时，表示小球与环内壁接触，且受到环内壁的支持力作用,但内壁光滑，那么此时小球就没有摩擦力的作用.显然，当θ是钝角时，就有可能使得N0.下面就此进行一些讨论.(1)若，则当Rgv2RgvRgvC22arccos)arccos(时，N0，小球与环外壁接触，且受到受到摩擦力的作用.5ROxyCC图1FABRgvRgvC22arccos)arccos(是临界角.如图1所示，小球从A运动到C的过程，与环外壁接触，有摩擦力作用；从C运动到B的过程，小球与环内壁接触，无摩擦力作用.在C点处，N＝0.为计算摩擦力的功，考察一微小过程（如图2所示）.xys图2o此过程摩擦力的功为222cosmvxmgRRvmxmgsRvmsmgsNsfAf)3()(cos2RgvmgN62mvxmgAfxys图2oOxyCC图1FAB因为C点到y轴的距离为CRsin)arccos(sin2242222RgvmvvgRmmvmgRmvxmgAACCff所以，从A→C过程有从C→B过程没有摩擦力.所以，从A→B过程拉力F的功为)arccos(222422RgvmvvgRmmgRAAAfGF7(2)若，则不存在N＝0的临界点，小球始终与环外壁接触，且始终受到摩擦力的作用.故有Rgv2图1FAB2220mvmvmvxmgAAff于是，从A到B过程，拉力F做的功为22mvmgRAAAfGF82.如图2所示，质量分布均匀的细链，长为L＝10m，质量为10kg，其一端系于天花板的P点处，人提着另一端，P、Q两点的高度差为h=2m，设人的提拉力F＝100N，试求天花板对细链的作用力.图2QP9例2解:(虚似法)由于细链挂在竖直平面内，且没有对称性，所以无法用力的平衡方法求解.但可以作如下情景虚似:图1QPhPQTPTQ图2人将链条沿其拉力方向缓慢移动一微小位移∆L，在这一过程中保持链条的形状和位置不变，那么这仅仅相当于把微元∆L从P点移到Q点，链条的势能减少了.据功能原理有mghLTLTPQ又LLmm所以)(1202101010100NghLmTTQP103.足球运动员在离球门11m处罚点球，球准确地从球门的横梁下沿飞进球门.设横梁下沿离地面的高度h=2.5m，足球的质量为m=0.5kg，不计空气阻力，那么运动员必须传递给这个足球的最小能量是多少？(19届俄罗斯中学生竞赛题)11例3解：tv0221gtxyohL图10v如图1所示，据勾股定理得22220)21()(Lhgttv经整理得ghtgthLv222222041因为是一正恒量22222222441ghLtgthL2222241tgthL当时，有最小值.20vghhLgghtgthLv2222222min20412)(12ghhLgv22min20)(所以，运动员传递给这个足球的最小能量为)(34)(21)(2122min20JhhLmgvmEk134.如图3所示，四个质量都是m的质点，用同样长的不可伸长的细线连结成一菱形ABCD，静止地放在水平光滑的桌面上，若突然给质点A一个历时极短沿CA方向的冲击，当冲击结束时刻，质点A的速度为v，其它质点也同时获得一定的速度，试2BAD，，4求此质点系统受冲击后所具有的总动量和总能量.图3vDCBA●●●●2(96年13届复赛题)141Bv2Bv1Dv2DvCv图21I1I1I1I2I2I2I2I例4解：图1vABDC2由对称性可知，B、C、D质点的速度有如下规律(如图2所示)：C的速度必沿CA方向，vB1=vD1,vB2=vD2.因为绳子不可伸长，所以必有各对应质点沿相连的绳子方向的速度必须相等.sincoscos21BBvvvsincoscos21BBCvvv又设各条绳子给质点的冲量如图2所示.那么据动量定理有coscos211IImvBsinsin212IImvBcos22ImvC15sincoscos21BBvvvsincoscos21BBCvvvcoscos211IImvBsinsin212IImvBcos22ImvC由以上5个方程可解得21sin21vvB22sin212sinvvB2sin212cosvvC1Bv2Bv1Dv2DvCv图21I1I1I1I2I2I2I2I1621sin21vvB22sin212sinvvB2sin212cosvvC于是系统的总动量大小为21sin2142mvmvmvmvpCB方向沿CA方向22222212sin212])(2[21mvvvvvmEEEEECBBDkCkBkAkk系统的总动能为1Bv2Bv1Dv2DvCv图21I1I1I1I2I2I2I2I175.如图4所示，质量为m的物体可沿足够长的竖直轨道A、B上下运动，物体正下方放置一个轻弹簧，物体与轨道间的最大静摩擦力与滑动摩擦力都是mgf21,现在物体在距离弹簧为d高度处由静止开始下落，试求：（1）物体下落达到的最低位置与弹簧劲度系数k的关系.（2）物体由最低位置第一次弹回的高度与k的关系.图4BAdm18例5解：图1BAdm物体m的运动可分为三个过程：加速下落距离d→压缩弹簧变加速下落至停止→反弹向上运动.由于弹簧的k值未知，所以，物体m到达最低位置后的运动存在以下三种可能性：第一种：不能弹回；第二种：弹回后弹簧仍被压缩；第三种：弹回后能脱离弹簧.下面就这三种可能性来讨论k的取值范围:设m运动到最低位置时，弹簧的压缩量为s，则据功能原理有)1()(21)(212dsmgksdsmg19图1BAdm图2BAdms由此解得)(21)(212dsmgksdsmg)2()4(2122kdmggmmgks显然，m下落停止后回弹的条件是fmgF弹即mgmgks21故kmgs23讨论:(1)当时，m不能弹回.kmgs23此时，代入(2)式可得：→m不能弹回的条件.dmgk4320)2()4(2122kdmggmmgksdmgk43m不能弹回(2)显然，当时，m可以回弹.dmgk43图1BAdm图2BAdms图3BAdms1h1①若m反弹至速度为零时，弹簧仍被压缩.设此时压缩量为s1(如图3所示),由功能关系得21图1BAdm图2BAdms图3BAdms1h1)2()4(2122kdmggmmgks2121121)](21[)(21ksssmgksssmg把(2)式代入可得)3()45(21221kdmggmmgks22图1BAdm图2BAdms图3BAdms1h1)2()4(2122kdmggmmgks)3()45(21221kdmggmmgks反弹高度为)4()24(12211mgkdmggmkssh这时应满足s1≥0，否则m将脱离弹簧.23)45(21221kdmggmmgks由s1≥0可得dmgk6dmgk43m不能弹回dmgkdmg643由此可知，当时，m反弹，且反弹结束时，弹簧的压缩量为s1.m回弹后弹簧仍有的压缩量②当时，s10，弹簧被拉长，不合理.这其实dmgk6表示在这条件下，弹簧恢复原长后，m将脱离弹簧继续向上运动.设m上升到距离弹簧自由端为s2时才静止，如图4所示.于是据功能关系有24图1BAdm图2BAdms22221)()(21ksssmgssmg)1()(21)(212dsmgksdsmg由此式及(1)式可得)(3122dsssh)2()4(2122kdmggmmgks把(2)代入得m的反弹高度h2为图4ds2BAmh225图1BAdm图2BAdms图4ds2BAmh2)5()]4(21[312222kdmggmmgkdssh当时，反弹高度dmgk622dh当时，反弹高度（此时）k32dh0s266.如图5所示，军训中战士距墙S0处以速度v0起跳，再用脚蹬墙面一次，身体变为竖直向上的运动，以继续升高，墙面与鞋底之间的静摩擦系数为μ，求能使人体重心有最大总升高的起跳角θ.θS0v0图5(95年12届预赛题)27例6解：θv0S0xyo建立xoy坐标系，如图所示.vB人以θ角起跳，经时间t，其重心由O到达B，此时速度为v.则有gtvvvvyxsin,cos00重心升高为)1()cos(2tan20001vSgSH在B处用脚蹬墙，利用最大静摩擦力的冲量可使人的向上动量增加：)2()(tNtFvmmvyy而正压力的冲量恰好使人的水平分动量变为零.28xyoθv0S0vB)2()(tNtFvmmvyy)3(xmvtN由(2)、(3)式可得)4(xyvv蹬墙结束时，人的重心的竖直向上的速度为xyyyvvvv于是，人以此为初速度继续升高gvvHxy2)(2229gvvHxy2)(22，20001)cos(2tanvSgSH整个过程，人的重心的总升高为gvvvSgSHHHxy2)()cos(2tan2200021因为从O到B，所用时间t为cos00vSt故在B点处有coscossinsin,cos002000vgSvgtvvvvyx30gvvvSgSHHHxy2)()cos(2tan2200021coscossinsin,cos002000vgSvgtvvvvyx由以上两式可得0220)cos(sin2SgvH令2211cos,1sin可得02220)(sin)1(2SgvH1213102220)(sin)1(2SgvH显然，当时，H最大，因此起跳角为2cot2arc121327.如图6所示，A、B是静止在水平地面上完全一样的两块长木板，A的左端与B的右端相接触，两板的质量都是M＝2kg，长度都是l=1m，C是一质量为m=1kg的小物体，现给它一初速度v0＝2m/s，使它从B板的左端开始向右滑动，已知地面是光滑的，而C与A、B之间的动摩擦因数都是μ＝0.1，求最后A、B、C各以多大的速度做匀速运动，取g＝10m/s2.图6CABv0