2016版高考数学大二轮总复习 增分策略 专题四 数列 推理与证明 第1讲 等差数列与等比数列试题

1第1讲等差数列与等比数列1．(2015·课标全国Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10等于()A.172B.192C．10D．122．(2015·安徽)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．3．(2014·广东)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝______.4．(2013·江西)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力.热点一等差数列、等比数列的运算(1)通项公式等差数列：an＝a1＋(n－1)d；等比数列：an＝a1·qn－1.2(2)求和公式等差数列：Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－2d；等比数列：Sn＝a1－qn1－q＝a1－anq1－q(q≠1)．(3)性质若m＋n＝p＋q，在等差数列中am＋an＝ap＋aq；在等比数列中am·an＝ap·aq.例1(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n＝________.(2)已知等比数列{an}公比为q，其前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，则q3等于()A．－12B．1C．－12或1D．－1或12思维升华在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．跟踪演练1(1)(2015·浙江)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________.(2)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＋a2＝1，a3＋a4＝2，则log2a2011＋a2012＋a2013＋a20143＝________.热点二等差数列、等比数列的判定与证明数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法：①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数；②利用中项性质，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．(2)证明{an}是等比数列的两种基本方法：①利用定义，证明an＋1an(n∈N*)为一常数；②利用等比中项，即证明a2n＝an－1an＋1(n≥2)．例2(2014·大纲全国)数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.(1)设bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等差数列；3(2)求{an}的通项公式．思维升华(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n项和公式，但不能作为证明方法．(2)an＋1an＝q和a2n＝an－1an＋1(n≥2)都是数列{an}为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零．跟踪演练2(1)(2015·大庆铁人中学月考)已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an4an＋1，则an＝________________________________________________________________________.(2)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，则an＝________.热点三等差数列、等比数列的综合问题解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解．例3已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有SnTm＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．4思维升华(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解．跟踪演练3已知首项为32的等比数列{an}不是．．递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝Sn－1Sn(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．51．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a10，a3＋a100，a6a70，则满足Sn0的最大自然数n的值为()A．6B．7C．12D．132．已知各项不为0的等差数列{an}满足a4－2a27＋3a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2b12等于()A．1B．2C．4D．83．已知各项都为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，存在两项am，an使得am·an＝4a1，则1m＋4m的最小值为()A.32B.53C.256D.434．已知等比数列{an}中，a4＋a6＝10，则a1a7＋2a3a7＋a3a9＝________.提醒：完成作业专题四第1讲6二轮专题强化练专题四第1讲等差数列与等比数列A组专题通关1．已知等差数列{an}中，a5＝10，则a2＋a4＋a5＋a9的值等于()A．52B．40C．26D．202．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，S11＝992，则a12的值是()A．15B．30C．31D．643．(2015·浙江)已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则()A．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞04．设Sn为等差数列{an}的前n项和，(n＋1)SnnSn＋1(n∈N*)．若a8a7－1，则()A．Sn的最大值是S8B．Sn的最小值是S8C．Sn的最大值是S7D．Sn的最小值是S75．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于()A．0B．3C．8D．116．若数列{n(n＋4)(23)n}中的最大项是第k项，则k＝________.7．(2015·课标全国Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝____________.78．已知数列{an}的首项为a1＝2，且an＋1＝12(a1＋a2＋…＋an)(n∈N*)，记Sn为数列{an}的前n项和，则Sn＝________，an＝________.9．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn＋54}是等比数列．10．(2015·广东)设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝32，a3＝54，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.(1)求a4的值；(2)证明：an＋1－12an为等比数列；(3)求数列{an}的通项公式．B组能力提高11．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，若S21＝S4000，O为坐标原点，点P(1，an)，Q(2011，a2011)，则OP→·OQ→等于()8A．2011B．－2011C．0D．112．(2015·福建)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于()A．6B．7C．8D．913．数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝15，且对任意正整数m，n，都有am＋n＝am·an，若Snt恒成立，则实数t的最小值为________．14．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在正整数n，使得Sn≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．9学生用书答案精析专题四数列、推理与证明第1讲等差数列与等比数列高考真题体验1．B[∵公差为1，∴S8＝8a1＋8×8－12×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝12，∴a10＝a1＋9d＝12＋9＝192.故选B.]2．2n－1解析由等比数列性质知a2a3＝a1a4，又a2a3＝8，a1＋a4＝9，所以联立方程a1a4＝8，a1＋a4＝9，解得a1＝1，a4＝8或a1＝8，a4＝1，又数列{an}为递增数列，∴a1＝1，a4＝8，从而a1q3＝8，∴q＝2.∴数列{an}的前n项和为Sn＝1－2n1－2＝2n－1.3．50解析因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50lne＝50.4．6解析每天植树棵数构成等比数列{an}，其中a1＝2，q＝2.则Sn＝a1－qn1－q＝2(2n－1)≥100，即2n＋1≥102.∴n≥6，∴最少天数n＝6.热点分类突破例1(1)6(2)A解析(1)设该数列的公差为d，则a4＋a6＝2a1＋8d＝2×(－11)＋8d＝－6，解得d＝2，10所以Sn＝－11n＋nn－2×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，所以当Sn取最小值时，n＝6.(2)若q＝1，则3a1＋6a1＝2×9a1，得a1＝0，矛盾，故q≠1.所以a1－q31－q＋a1－q61－q＝2a1－q91－q，解得q3＝－12或1(舍)，故选A.跟踪演练1(1)23－1(2)1005解析(1)∵a2，a3，a7成等比数列，∴a23＝a2a7，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，∴a1＝－23d，∵2a1＋a2＝1，∴2a1＋a1＋d＝1即3a1＋d＝1，∴a1＝23，d＝－1.(2)在等比数列中，(a1＋a2)q2＝a3＋a4，即q2＝2，所以a2011＋a2012＋a2013＋a2014＝(a1＋a2＋a3＋a4)q2010＝3×21005，所以log2a2011＋a2012＋a2013＋a20143＝1005.例2(1)证明由an＋2＝2an＋1－an＋2得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2.又b1＝a2－a1＝1，所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．(2)解由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1.∴an－an－1＝2n－3，an－1－an－2＝2n－5，……11a2－a1＝1，累加得an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.又a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.跟踪演练2(1)14n－3(2)2n＋1－3解析(1)由已知得1an＋1＝1an＋4，∴1an＋1－1an＝4，又1a1＝1，故{1an}是以1为首项，4为公差的等差数列，∴1an＝1＋4(n－1)＝4n－3，故an＝14n－3.(2)由已知可得an＋1＋3＝2(an＋3)，又a1＋3＝4，故{an＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列．∴an＋3＝4×2n－1，∴an＝2n＋1－3.例3解(1)由a2＋a7＋a12＝－6得a7＝－2，∴a1＝4，∴an＝5－n，从而Sn＝