不等式的解法

不等式的解法──複習課a(x-b)(x-c)(x-d)0bcd一.一元二次不等式的解法例1.解不等式.xx0322Ⅰ.降次,化為不等式組.解:原不等式可化為.xx013所以有.xx,xx.01032.或01031由1可得,;3x由2可得,.x1.x,x3或1所以原不等式的解為Ⅱ.圖像解法.解:如下圖,畫出函數322xxy的簡圖.由圖像可以直觀地看出,原不等式的解為x-1,或x3.-3-2-11234-4-3-2-11234xyⅢ.序軸標根法.由圖像解法知,要得到不等式的解並不需要精確地繪出函數圖像,祇要確定函數與x軸的交點,也即與不等式對應的方程的根,與及函數的開口方向.因此,我們可以把圖像作進一步的簡化和抽象.-3-2-11234-4-3-2-11234xy-13-3-2-11234-4-3-2-11234xy-13在“序軸標根法”中,我們作了如下的簡化:由於不等式的解祇與函數值y是大於零還是小於零有關,並不關心y的精確值,因此我們把y軸省略了,只保留x軸.軸標“x”也是可以省略的,甚至可以把原點也略去.但是數軸的正方向必須保留,以保證實數的有序性,事實上,研究不等式的基礎正是實數的有序性!因此,與不等式對應的方程的根必須從小到大,從左到右(依正方向的方向)標出.考慮到解答的方便,我們約定把與不等式對應的函數標準化,即把函數的最高次數項的係數通過乘法法則,化為大於零,這樣保證了f(∞)0,因此,可以從右上方“穿針引線”(因為點(x,y)(這裡x為∞,y大於零)在右上方.二.一元高次不等式的解法一元高次不等式的解法,也可以用降次的方法來解,還可以用“列表法”來解,這些方法一般比較繁瑣.下面我們舉個例子從“圖像法”過度到“序軸標根法”.註:一般地,我們把最高次數大於二次的一元代數不等式稱為一元高次不等式.例2.解不等式.xxxx043622解:(圖像法)-6-5-4-3-2-1123456102030xyy=(x^2+x-6)(x^2+3x-4)由圖像可直觀得到原不等式的解為x-4,或-3x1,或x2.其中-4,-3,1,2是與原不等式對應的方程的根.-6-5-4-3-2-1123456102030xyy=(x^2+x-6)(x^2+3x-4)同樣地,我們把圖像法簡化成“序軸標根法”:.xxxx043622-4-312.xxxx01432解:原不等式可化為-4-312所以原不等式的解為x-4,或-3x1,或x2.小結:“序軸標根”用於解一元高次不等式非常方便,其解題步驟如下:1.分解因式,化成標準形式;2.作等價變形,處理如5311222xx,xx,x因式,這些因式的共同點是無論x取何值,式子的代數值均大於零;3.由小到大,從左到右標出與不等式對應的方程的根;4.從右上角起,“穿針引線”;5.重根的處理,依“奇穿偶不穿”原則;6.畫出解集的示意區域,從左到右寫出解集..xxxxxx0111232222練習1:解下列高次不等式解:原不等式可化為0111122232xxxxxxx011232xxxx-1012所以原不等式的解為.,,x101三.分式不等式的解法一般將分式不等式化為整式不等式,但須注意定義域.000xgxfxgxgxf例3.解不等式.xxx11272解:原不等式可以化為012712722xxxxx04362012712801271282222xxxxxxxxxxxx2346且3x,且.x4所以原不等式的解為.,,x6432四.無理不等式的解法解無理不等式,關鍵是去根號,把無理不等式轉化為有理不等式去解.解題步驟是:1.討論定義域,理解定義與解集的關係;2.兩邊平方時,須確保兩邊非負,因此要分類處理;3.化成有理不等式後,解集與分類的數集是交的關係;4.把分類的結果與定義域交,得出原不等式的解集.一般畫數軸來處理解集的交並關係.例4.解不等式.xxx81032時,不等式兩邊平方得解:原不等式的定義域為.x,xxx5或2010321.當808xx時,不等式成立,即.x82.當808xx13747413810322xxxxx即.x81374581374所以原不等式的解為.x1374-2五.指對數不等式的解法例5.解不等式.xx016232解:原不等式可化為03103443221622243322xxxxxxxxxx所以原不等式的解為.,x31一般用同底法,解指對數不等式.先轉化成同底,再根據指數,對數函數的單調性轉化成代數不等式.例6.已知,解不等式10a,a.logxlogxxlogaaa212342解:定義域為122342xlogxxlogaa1.當10a時,有122342xxx.x,xxx2或30622.當1a時,有122342xxx.xxx23062原不等式可化為.xxxxxxx42101204301203422因此,.x42因此,.x221六.絕對值不等式的解法關鍵在於合理地去絕對值.去絕對值的方法有:1.2.兩邊平方(須判斷兩邊是否非負).3.找零點,分類去絕對值.;ax,axax或.axaaax0例7.解不等式.xxx142解:1.當,時1即01x,x不等式成立.2.當,時1即01x,x原不等式可化為03251422222xxxxxx03155xxxx5153.,,x3511綜上,原不等式的解為.,,x35