高二数学圆的方程

第三节圆的方程1.圆的标准方程(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)表示圆心为________，半径为____的圆的标准方程．(2)特别地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为____________．(a，b)rx2＋y2＝r2基础梳理,22DE不表示任何图形,22DE2.圆的一般方程方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为2+2=.故有：(1)当D2+E2-4F0时，方程表示以__________________为圆心，以________________为半径的圆；(2)当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点____________；(3)当D2+E2-4F0时，方程______________．2Dx2Ey2244DEF3.P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系(1)若(x0－a)2＋(y0－b)2____r2，则点P在圆外；(2)若(x0－a)2＋(y0－b)2____r2，则点P在圆上；(3)若(x0－a)2＋(y0－b)2____r2，则点P在圆内．=4.求圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择________或一般方程；(2)根据条件列出关于________或________的方程组；(3)解出________或________，代入________或________．标准方程a，b，rD，E，Fa，b，rD，E，F标准方程一般方程1.(必修2P100练习第2题改编)与x轴相切，且圆心为(2,1)的圆的标准方程____________________．(x－2)2＋(y－1)2＝1基础达标解析：由题意知，圆的半径为1，又圆心为(2,1)，故圆方程为(x-2)2+(y-1)2=1.2.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________________.解析：由题意，设圆心(x0,1)，∴=1，解得x0=2或x0=-(舍去)，∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.022|43|43x12(x-2)2+(y-1)2=13.已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为________.解析：直线x-2y=0与2x+y=0相交于原点，且互相垂直，故圆x2+y2=4在区域D内的弧长为该圆周长的四分之一，即为.2020xyxy12244.(必修2P100练习第6题改编)圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是________．解析：∵直线过圆心，∴-2a-2b+2=0，即a+b=1.∴1=(a+b)2=a2+2ab+b2≥4ab，∴ab≤.141,4【例1】求过点A(2，－3)、B(－2，－5)且圆心在直线x－2y－3＝0上的圆的方程.解：∵圆心在直线x－2y－3＝0上，故可设圆心为M(2b＋3，b)，∴所求圆的标准方程为[x－(2b＋3)]2＋(y－b)2＝r2.再由|MA|＝|MB|，得[(2b＋3)－2]2＋(b＋3)2＝[(2b＋3)＋2]2＋(b＋5)2，解得b＝－2.于是圆心为M(－1，－2)，半径|MA|＝＝.故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.经典例题22213210【例2】已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t是实数)表示的图形是圆．(1)求实数t的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程．分析：本题所给的方程是圆的一般方程，需要根据它表示圆的充要条件判断t的范围，也可以把它转化为标准方程，再进行处理．题型二与圆有关的参数问题解：(1)半径的平方为r2＝[4(t＋3)2＋4(1－4t2)2－4(16t4＋9)]＝－7t2＋6t＋1＞0，所以－＜t＜1.(2)因为r＝＝，所以当t＝∈时，半径取最大值.此时面积最大，所对应的圆的方程为2＋2＝.14172761tt2316777t371,17477247x1349y167【例3】已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求的最大值和最小值；(2)求x2＋y2的最大值和最小值．分析：根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解．题型三与圆有关的最值问题yx解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±，如图1.所以的最大值为，最小值为－.3yxyx2|20|1kk33yx33(2)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，如图2.又圆心到的原点的距离为＝2，所以，x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.22200033已知x，y满足x2＋y2＝1，则的最小值为________．解析：利用数形结合法，表示圆上的点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，所以的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，由＝1得k＝，∴的最小值为.变式3－13421yx21yx2|2|1kk3421yx34【例4】某工程设计一条单行隧道，其横截面如图所示，下部ABCD为长8m，高2m的矩形，上部是圆弧的一部分.欲使宽6m，高3m的大型货车刚好能通过，求拱顶E距离路面AB至少需多少m?分析：如图，该大型货车PQMN刚好能通过，表明点M在圆弧上，又因为点C在圆弧上，因此，可建立适当的坐标系，根据题中的条件，求出圆的方程，则E点的纵坐标可求．题型四圆的方程的建模解：以AB中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图．则C(4,2)、M(3,3)．设圆弧所在圆的方程为x2+(y-b)2=r2，则⇒即所求圆的方程为x2+(y+1)2=25.令x=0代入方程解得y=4或-6(舍去)．所以拱顶E距路面AB至少需4m.2222224233brbr2125br某河上有一座圆拱桥，其跨度为30m，圆拱高为5m，一船宽为10m，上载有货物，水面到船顶高为4m，问该船能否顺利通过该桥？变式4－1建立如图所示的直角坐标系，则圆心在y轴上，设圆心坐标为(0，a)，半径为r，则圆的方程为x2＋(y－a)2＝r2，代入点(0,5)，(15,0)，得∴∴该圆方程为x2＋(y＋20)2＝625.因为船宽10m，高4m.所以判断该船能否通过该桥，即判断点A(5,4)与圆的位置关系．∵52＋(4＋20)2＝601＜625，∴(5,4)在圆内，即该船能顺利通过该桥．22222515arar2025.ar1.(2010·天津)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为______________．知识准备：1.会求直线与x轴的交点坐标及点到直线的距离公式；链接高考2．知道当直线与圆相切时，圆的半径就是圆心到这条直线的距离．解析：令y＝0得x＝－1，所以直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)．因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r＝＝，所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.|103|222.(2010·广东)已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是___________________________.知识准备：1.知道圆心横坐标为负，纵坐标为0；2.知道圆心到切线的距离等于半径．解析：设圆心为(a,0)(a＜0)，则r==，解得a=-5.所以圆O的方程为(x+5)2+y2=5.22|20|12a5