高二数学圆锥曲线复习课

圆锥曲线椭圆双曲线抛物线定义标准方程几何性质直线与圆锥曲线的位置关系一、知识点框架双曲线的定义：1212||||||2,(02||)MFMFaaFF椭圆的定义：|)|2(,2||||2121FFaaMFMF圆锥曲线的统一定义（第二定义）：，是常数的距离的比线的距离和它到一条定直与一个定点动点elFM.是离心率做准线，常数定点是焦点，定直线叫el.FdM.l.FdM.l.FdM.10e1e1e二、基础知识点梳理1、圆锥曲线的定义012222babyax012222babxay椭圆的标准方程：0,012222babyax0,012222babxay双曲线的标准方程：022ppxy抛物线的标准方程：022ppyx2、圆锥曲线的标准方程l.FdM.l.FdM.l.FdM.椭圆抛物线双曲线范围对称性顶点离心率焦点、准线焦半径双曲线）渐进线(3、圆锥曲线的性质通径长焦点弦l.FdM.l.FdM.l.FdM.范围：对称性：顶点：离心率：焦点：,xaya,xayR0,xyRx轴,y轴,原点对称，长轴长为2a,短轴长为2b关于焦点所在轴对称(0,1)cea(1,)cea1e(,0)2pF(,0),(0,)ab(,0),(,0)aa(0,0)22(,0),ccab22(,0),ccabx轴,y轴,原点对称，长轴长为2a,短轴长为2bl.FdM.l.FdM.l.FdM.焦半径：2111MFaexMFaex2111MFaexMFaex12pMFx通径长：渐近线22ba22ba2pbyxa无无准线2px2axc2axc4、直线与圆锥曲线的位置关系：直线与圆锥曲线的交点计算△注意特殊情况直线与圆锥曲线的弦长弦长公式直线与圆锥曲线的弦中点韦达定理或点差法)(过焦点()相交、相切和相离(1)弦长公式),(11yx),(22yxAB]4))[(1(212212xxxxkAB),(11yx),(22yxAB注意：一直线上的任意两点都有距离公式或弦长公式mkxy]4))[(11(212212yyyykAB(2)面积公式12ABCSABd1212ABCSOCyy12222byaxmkxy消元一元二次方程0)(xf0)(yg消y消xOABcxy(3)直线与圆锥曲线有关弦的中点问题解题思路：直线与圆锥曲线联立消元得到一元二次方程点差法点的对称性5、焦点三角形性质：MF1F2AxyOxMF1yOF2焦点在x轴上的椭圆焦点在x轴上的双曲线(1)范围122(22)MFFSbtg面积:12(0,]FAF1M思考:在什么位置时，最大？0122120MFMFe思考:若存在点使，求的范围MF1F2AxyO焦点在x轴上的椭圆焦点在x轴上的双曲线xMF1yOF2(1)范围(0,)122t2:an2()MFFbS面积圆锥曲线定义的应用【技法点拨】圆锥曲线定义的应用技巧（1）在求点的轨迹问题时，若所求轨迹符合圆锥曲线的定义，则根据其直接写出圆锥曲线的轨迹方程.（2）焦点三角形问题，在椭圆和双曲线中，常涉及曲线上的点与两焦点连接而成的“焦点三角形”，处理时常结合圆锥曲线的定义及解三角形的知识解决.（3）在抛物线中，常利用定义，以达到“到焦点的距离”和“到准线的距离”的相互转化.例1：(1)一动圆与两圆：x2+y2=1和x2+y2-6x+5=0都外切，则动圆圆心的轨迹为()（A）抛物线（B）双曲线（C）双曲线的一支（D）椭圆(2)（2011·辽宁高考）已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()（A）（B）1（C）（D）5474CC1、如图所示，已知两圆A：(x＋1)2＋y2＝1，B：(x－1)2＋y2＝25，动圆M与圆A外切，与圆B内切，求动圆M的圆心M的轨迹方程．练习一：2、已知点P是椭圆x216＋y24＝1上的位于第二象限的点，且点P到椭圆左焦点F1的距离为2，则线段PF1的中点M到椭圆中心的距离是()A．1B．2C．3D．43、设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝()A．43B．8C．83D．164、若动圆P过点N(－2,0)，且与另一圆M：(x－2)2＋y2＝8相外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．作业：1、一动圆与圆(x＋3)2＋y2＝1外切，又与圆(x－3)2＋y2＝9内切，则动圆圆心的轨迹方程为________________．x24－y25＝1(x≥2)例2：已知点P是椭圆一点，F1和F2是椭圆的焦点，192522yx⑴若∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面积⑵若∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积⑶若∠F1PF2=θ，求△F1PF2的面积PF1F2d改成双曲线呢?PF1F2dA1A2例3：已知点P是椭圆上一点，F1和F2是椭圆的左右焦点,求:1162522yx的最大值与最小值21)2(PFPF的最大值与最小值1)1(PF1、设P是双曲线x2a2－y29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝()A．1或5B．2或6C．7D．9练习二:C例4：已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值。xoyFABMCND43y例5：若点M(2,1)，点C是椭圆x216＋y27＝1的右焦点，点A是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________．解析：|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，答案8－261、AB为抛物线y＝x2上的动弦，且|AB|＝a(a为常数，且a≥1)，求弦AB的中点M离x轴的最近距离．练习三:2、已知F1、F2为双曲线x25－y24＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为()A.37＋4B.37－4C.37－25D.37＋25解析如图所示，连接F1P交双曲线右支于点A0.∵|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－25，∴要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值．当A落在A0处时，|AP|＋|AF1|＝|PF1|最小，最小值为37，∴|AP|＋|AF2|的最小值为37－25.答案C求圆锥曲线的方程【技法点拨】1.求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0).(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.2.求椭圆、双曲线的标准方程最常用方法为定义法、待定系数法，求解时注意有两个定形条件(如已知a，b，c，e中的任意两个)和一个定位条件(对称轴、焦点或准线等)．对于双曲线要注意双曲线与渐近线的关系，这两条渐近线方程可以合并表示为，一般地，与双曲线有共同渐近线的双曲线方程是2222(0)xyab22221(0,0)xyabab0xyab22220xyab22221xyab3.求抛物线标准方程需一个定位条件（如顶点坐标、焦点坐标或准线方程），以及一个定形条件（即已知p）．4.几个注意点（1）在求解对应圆锥曲线方程时，还要特别注意隐含条件，如双曲线有c2=a2+b2，椭圆有a2=b2+c2.（2）“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念，“求轨迹”除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形状的对应关系了如指掌.例1：(1)已知点P(3，-4)是双曲线渐近线上的一点，E，F是左、右两个焦点，若则双曲线方程为()（A）（B）（C）（D）(2)（2011·新课标全国高考）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为____．2.222221(0,0)xyabab0EPFP221169xy22134xy22143xy221916xy【解析】(1)选C.不妨设E（-c,0），F（c,0），则（3+c,-4）·（3-c,-4）=25-c2=0，所以c2=25.可排除A、B.又由D中双曲线的渐近线方程为点P不在其上，排除D,故选C.(2)设椭圆方程为因为离心率为EPFP3yx4，2222xy1ab0ab＝．22，所以解得即a2＝2b2.又△ABF2的周长为｜AB｜+｜AF2｜+｜BF2｜＝｜AF1｜+｜BF1｜+｜BF2｜+｜AF2｜＝（｜AF1｜+｜AF2｜）+（｜BF1｜+｜BF2｜）＝2a＋2a＝4a，222b12a，22b1a2＝，所以4a＝16，a＝4，所以所以椭圆方程为答案：b22＝，22xy1.168＝22xy1.168＝【想一想】解答题1的方法有哪些？解答题2的关键点是什么？提示：（1）解答题1可利用排除法，也可利用待定系数法直接求解.（2）解答题2的关键点是将过焦点的三角形的边利用椭圆定义转化为与长轴长2a的关系.例2：(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3,0)，求椭圆的方程；(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6，1)，P2(－3，－2)，求椭圆的方程．[思路]题目没有说明长轴所在的位置，解题时要分类讨论，设出椭圆方程，利用待定系数法求解．[解答](1)若交点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．∵椭圆过P(3,0)，∴32a2＋02b2＝1，∴a＝3.又2a＝3×2b，∴b＝1，方程为x29＋y2＝1.若交点在y轴上，设方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．∵椭圆过点P(3,0)，∴02a2＋32b2＝1，∴b＝3.又2a＝3×2b＝18，∴a＝9，∴方程为y281＋x29＝1.∴所求椭圆的方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0且m≠n)．∵椭圆经过P1、P2点，将P1，P2两点坐标代入椭圆方程，得6m＋n＝1，3m＋2n＝1.解得m＝19，n＝13.∴所求椭圆方程为x29＋y23＝1.[点评]求解椭圆的标准方程即确定a、b的值，需要根据已知条件确定两个独立的方程．求解时要注意：(1)依据长轴所在的位置确立合适的方程形式，不能确定的要进行分类讨论；(2)当椭圆过两个已知点时，可以直接设为mx2＋ny2＝1的形式，可以简化运算．1、根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)两焦点分别为F1(－10,0)，F2(10,0)，点P(8,0)在双曲线上；(2)已知双曲线过A(－62，－7)，B(3,27)两点，焦点在y轴上．[思路](1)根据双曲线定义，可求出a，又c＝10，于是可求出b，从而求得双曲线方程；(2)设出双曲线方程，将已知点坐标代入方程，解方程组即可求得a、b.练习四：[解答](1)|PF1|＝（＋10）2＋（－）2＝18，|PF2|＝（8－10）2＋（－0）2＝2，∴2a＝|PF1|－|PF2|＝16，∴a＝8，又c＝10，∴b2＝c2－a2＝36.∵焦点在x轴上，∴双曲线方程为x264－y236＝1.(2)根据题意，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1，∵两点A(－62，－7)，B(3,27)在双曲线上，∴有49a2－72b2＝1，28a2－9b2＝1，解得a2＝25，b2＝75，∴双曲线的标准方程为y225－x275