2015-2016学年河南省周口市沈丘县高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年河南省周口市沈丘县高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设i是虚数单位，那么复数（1﹣i）i等于（）A．﹣1+iB．1+iC．﹣1﹣iD．1﹣i2．已知不等式|x﹣|≤的解集为M，不等式4x﹣x2＞0的解集为N，则M∩N=（）A．（0，2]B．[﹣1，0）C．[2，4）D．[1，4）3．在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC．这个命题的大前提为（）A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边的一半C．EF为中位线D．EF∥CB4．已知某回归方程为：=2﹣3，则当解释变量增加1个单位时，预报变量平均：（）A．增加3个单位B．增加个单位C．减少3个单位D．减少个单位5．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根6．已知a，b为正实数，函数y=2aex+b的图象经过点（O，1），则的最小值为（）A．3+2B．3﹣2C．4D．27．当n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．30B．14C．8D．68．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*），可归纳猜想出Sn的表达式为（）A．B．C．D．9．已知是复数z的共轭复数，z++z•=0，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线10．已知关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，则实数a的最小值为（）A．B．1C．2D．11．设a＞b＞c，n∈N，且恒成立，则n的最大值是（）A．2B．3C．4D．612．用数学归纳法证明：1+2+22+…2n﹣1=2n﹣1（n∈N）的过程中，第二步假设当n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（）A．1+2+22+…+2k﹣2+2k+1﹣1B．1+2+22+…+2k+2k+1=2k﹣1+2k+1C．1+2+22+…+2k﹣1+2k+1=2k+1﹣1D．1+2+22+…+2k﹣1+2k=2k﹣1+2k二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．设a，b是实数，若=a+bi（i是虚数单位），则a+b的值是．14．从1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，推广到第n个等式为．15．若关于x的不等式|x+3|﹣|x+2|≥log2a有解，则实数a的取值范围是：．16．设a，b∈R+，现有下列命题：①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；②若，则a﹣b＜1；③若，则|a﹣b|＜1；④若|a2﹣b2|=1，则|a﹣b|＜1其中正确命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．选修4﹣5：不等式选讲设f（x）=|x+1|+|x﹣3|．（1）解不等式f（x）≤3x+4；（2）若不等式f（x）≥m的解集为R，求实数m的取值范围．18．已知a＞0，b＞0，，证明+≥a+b．19．已知复数z=（m2﹣8m+15）+（m2﹣9m+18）i在复平面内表示的点为A，实数m取什么值时：（1）z为实数？（2）z为纯虚数？（3）A位于第三象限？20．某中学采取分层抽样的方法从应届高三学生中按照性别抽取20名学生，其中8名女生中有3名报考理科，男生中有2名报考文科．（1）是根据以上信息，写出2×2列联表；（2）用假设检验的方法分析有多大的把握认为该中学的高三学生选报文理科与性别有关？参考公式K2=P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.001…k02.7063.8415.0246.63510.828…21．某种产品的广告费用支出与销售额之间有如下的对应数据：x24568y3040605070（1）画出散点图，并说明销售额y与广告费用支出x之间是正相关还是负相关？（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，，求出回归直线方程．（3）据此估计广告费用为10时，销售收入y的值．22．已知关于x的方程：x2﹣（6+i）x+9+ai=0（a∈R）有实数根b．（1）求实数a，b的值．（2）若复数z满足|﹣a﹣bi|﹣2|z|=0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值．2015-2016学年河南省周口市沈丘县高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设i是虚数单位，那么复数（1﹣i）i等于（）A．﹣1+iB．1+iC．﹣1﹣iD．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘法运算求解．【解答】解：（1﹣i）i=i﹣i2=1+i．故选：B．2．已知不等式|x﹣|≤的解集为M，不等式4x﹣x2＞0的解集为N，则M∩N=（）A．（0，2]B．[﹣1，0）C．[2，4）D．[1，4）【考点】一元二次不等式的解法；交集及其运算．【分析】化简不等式，求出集合M、N，再求M∩N．【解答】解：不等式|x﹣|≤可化为﹣≤x﹣≤，解得﹣1≤x≤2，所以M=[﹣1，2]；不等式4x﹣x2＞0可化为x（x﹣4）＜0，解得0＜x＜4，所以N=（0，4）；则M∩N=[﹣1，2]∩（0，4）=（0，2]．故选：A．3．在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC．这个命题的大前提为（）A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边的一半C．EF为中位线D．EF∥CB【考点】演绎推理的基本方法．【分析】三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理．在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“三角形的中位线平行于第三边”．【解答】解：本题的推理过程形式是三段论，其大前提是一个一般的结论，即三角形中位线定理，故选：A．4．已知某回归方程为：=2﹣3，则当解释变量增加1个单位时，预报变量平均：（）A．增加3个单位B．增加个单位C．减少3个单位D．减少个单位【考点】线性回归方程．【分析】根据回归方程中解释变量的系数﹣3进行判断．【解答】解：自变量为解释变量，为预报变量∵=2﹣3，∴当解释变量增加1个单位时，预报变量减少3个单位．故选C．5．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【考点】反证法与放缩法．【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根．故选：A．6．已知a，b为正实数，函数y=2aex+b的图象经过点（O，1），则的最小值为（）A．3+2B．3﹣2C．4D．2【考点】基本不等式；指数函数的单调性与特殊点．【分析】将点（O，1）的坐标代入y=2aex+b，得到a，b的关系式，再应用基本不等式即可．【解答】解：∵函数y=2aex+b的图象经过点（O，1），∴1=2a•e0+b，即2a+b=1（a＞0，b＞0）．∴=（）•1=（）•（2a+b）=（2+1++）≥3+2（当且仅当b=a=﹣1时取到“=”）．故选A．7．当n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．30B．14C．8D．6【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，K的值，当K=4时，不满足条件k≤n，退出循环，输出S的值为14．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=3，K=1，S=0满足条件k≤n，S=2，K=2满足条件k≤n，S=6，K=3满足条件k≤n，S=14，K=4不满足条件k≤n，退出循环，输出S的值为14．故选：B．8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*），可归纳猜想出Sn的表达式为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和；归纳推理．【分析】数列{an}中，前n项和为Sn，由a1=1，Sn=n2an（n∈N*），可得s1；由s2可得a2的值，从而得s2；同理可得s3，s4；可以猜想：sn=，本题不需要证明．．【解答】解：在数列{an}中，前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*），∴s1=a1=1=；s2=1+a2=4a2，∴a2=，s2==；s3=1++a3=9a3，∴a3=，s3==；s4=1+++a4=16a4，∴a4=，s4==；…于是猜想：sn=．故选A．9．已知是复数z的共轭复数，z++z•=0，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【考点】轨迹方程．【分析】设出复数z的代数形式，代入z++z•=0，整理后即可得到答案．【解答】解：设z=x+yi（x，y∈R），则，代入z++z•=0，得：，即x2+y2+2x=0．整理得：（x+1）2+y2=1．∴复数z在复平面内对应的点的轨迹是圆．故选：A．10．已知关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，则实数a的最小值为（）A．B．1C．2D．【考点】函数恒成立问题；基本不等式．【分析】关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，即求（2x+）min≥7，将不等式2x+配凑成基本不等的形式，利用基本不等式求最小值，进而求得a的最小值．【解答】解：∵关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，∴（2x+）min≥7，∵x＞a，∴y=2x+=2（x﹣a）++2a≥+2a=4+2a，当且仅当，即x=a+1时取等号，∴（2x+）min=4+2a，∴4+2a≥7，解得，a≥，∴实数a的最小值为．故选A．11．设a＞b＞c，n∈N，且恒成立，则n的最大值是（）A．2B．3C．4D．6【考点】不等式的证明．【分析】分离参数n，将不等式恒成立转化为求函数的最值，将函数分离常数将解析式变形为两部分的乘积是定值，利用基本不等式求出最值．【解答】解：∵+≥恒成立，∴n2≤+恒成立∴n2≤+的最小值∵+=+=2++≥4得n2≤4，∴n≤2，故选：A．12．用数学归纳法证明：1+2+22+…2n﹣1=2n﹣1（n∈N）的过程中，第二步假设当n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（）A．1+2+22+…+2k﹣2+2k+1﹣1B．1+2+22+…+2k+2k+1=2k﹣1+2k+1C．1+2+22+…+2k﹣1+2k+1=2k+1﹣1D．1+2+22+…+2k﹣1+2k=2k﹣1+2k【考点】数学归纳法．【分析】只要将n=k+1代入式子：1+2+22+…2n﹣1=2n﹣1中即可，注意左边中最后一项是2k．【解答】解：∵将式子：1+2+22+…2n﹣1=2n﹣1中n用k+1替换得：当n=k+1时，有1+2+22+…+2k﹣1+2k=2k﹣1+2k故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．设a，b是实数，若=a+bi（i是虚数单位），则a+b的值是2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简后再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵==a+bi，∴a=1，b=1，则a+b=2．故答案为：2．14．从1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，推广到第n个等式为1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1•n2=（﹣1）n+1•（1+2+3+…+n）．【考点】归纳推理．【分析】本题考查的知识点是归纳推理，解题的步骤为，由1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣