2017届高三数学文理通用一轮复习课件：6.1 数列的概念与简单表示

第六章数列6.1数列的概念与简单表示第六章6.1数列的概念与简单表示考情概览知识梳理核心考点学科素养考情概览-3-考纲要求命题角度分析1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数.本节内容高考偶尔考查,题型主要有:依据数列前几项写数列的通项;由数列的递推关系求数列的某一项;已知数列的前n项和Sn求通项an.第六章6.1数列的概念与简单表示考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-4-知识梳理双击自测1.数列的概念(1)数列的定义:按照排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项,通常也叫做.(2)数列的分类:分类标准类型满足条件项数有穷数列项数无穷数列项数项与项间的大小关系递增数列an+1an其中n∈N*递减数列an+1an常数列an+1=an一定顺序首项有限无限第六章6.1数列的概念与简单表示考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-5-知识梳理双击自测(3)数列的通项公式:如果数列{an}的第n项与之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个关系式叫做这个数列的通项公式.(4)数列的前n项和:在数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an叫做数列{an}的前n项和.(5)数列的表示方法有:列表法、图象法、公式法.序号n第六章6.1数列的概念与简单表示考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-6-知识梳理双击自测2.数列的递推公式如果已知数列{an}的首项(或前几项),且与它的(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列{an}的递推公式.3.数列的函数特征:数列可以看成是定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})的函数an=f(n)当自变量按照由小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.4.数列{an}的an与Sn的关系:若数列{an}的前n项和为Sn,则an=,𝑛=1,,𝑛≥2.任一项an前一项an-1S1Sn-Sn-1第六章6.1数列的概念与简单表示考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-7-知识梳理双击自测234151.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”.(1)数列1,2,3,4,5,6与数列6,5,4,3,2,1表示同一数列.()(2)数列可看作是函数,项数看作函数的自变量,项看作函数值.()(3)数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的点.()(4)一个确定的数列,它的通项公式只有一个.()(5)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.()(6)通项公式为an=2n-1(n∈N*)的数列{an}的前4项分别是1,3,7,15.()×√√××√第六章6.1数列的概念与简单表示考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-8-知识梳理双击自测234152.已知数列{an}为2,0,2,0,…,则下列各式不可以作为数列{an}的通项公式的是()A.an=1+(-1)n+1B.an=2sin𝑛π2C.an=1-cosnπD.an=2,𝑛为奇数,0,𝑛为偶数B解析:若an=2sin𝑛π2,则a1=2sinπ2=2,a2=2sinπ=0,a3=2sin3π2=-2,a4=2sin2π=0.第六章6.1数列的概念与简单表示考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-9-知识梳理双击自测234153.前5项分别为-1,13,-15,17,-19的数列的一个通项公式是.an=(-1)n·12𝑛-1第六章6.1数列的概念与简单表示考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-10-知识梳理双击自测234154.若数列{an}的前n项和Sn=n2+3n,则a6+a7+a8=.48解析:a6+a7+a8=S8-S5=88-40=48.第六章6.1数列的概念与简单表示考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-11-知识梳理双击自测234155.已知数列{an}满足,a8=2,则a1=.an+1=11-𝑎𝑛12解析:由a8=2及an+1=11-𝑎𝑛,得a10=12.同理a9=-1,a8=2,a7=12,…所以数列{an}是周期为3的数列.所以a1=a10=12.第六章6.1数列的概念与简单表示考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-12-考点一考点二考点三由数列的前几项求数列的通项1.下列公式可作为数列{an}:1,2,1,2,1,2,…的通项公式的是()A.an=1B.an=(-1)𝑛+12C.an=2-sin𝑛π2D.an=(-1)𝑛-1+32C解析:由an=2-sin𝑛π2可得a1=1,a2=2,a3=1,a4=2,…,故选C.第六章6.1数列的概念与简单表示考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-13-考点一考点二考点三2.写出下列数列的一个通项公式:(1)1,-3,5,-7,9,…;(2)1,0,13,0,15,0,17,…;(3)0.9,0.99,0.999,0.9999,…;(4)1,√22,12,√24,14,….解:(1)an=(-1)n+1(2n-1).(2)an=1-(-1)𝑛2𝑛.(3)an=1-110𝑛.(4)an=(√2)1-n.第六章6.1数列的概念与简单表示考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-14-考点一考点二考点三方法总结根据所给数列的前几项求其通项时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:分式中分子、分母的各自特征、相邻项的变化特征、拆项后的各部分特征、符号特征.应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想.第六章6.1数列的概念与简单表示考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-15-考点一考点二考点三由an与Sn的关系求通项例题已知下面数列{an}的前n项和Sn,求数列{an}的通项公式:(1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n+b.解:(1)当n=1时,a1=S1=2-3=-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5,由于a1也适合此等式,故an=4n-5.(2)当n=1时,a1=S1=3+b;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=2·3n-1.当b=-1时,a1适合此等式;当b≠-1时,a1不适合此等式.故当b=-1时,an=2·3n-1;当b≠-1时,an=3+𝑏,𝑛=1,2·3𝑛-1,𝑛≥2.第六章6.1数列的概念与简单表示考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-16-考点一考点二考点三方法总结an与其前n项和Sn的关系是当n=1时,若a1适合Sn-Sn-1,则n=1的情况可并入n≥2时的通项an;当n=1时,若a1不适合Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.an=𝑆1,𝑛=1,𝑆𝑛-𝑆𝑛-1,𝑛≥2.第六章6.1数列的概念与简单表示考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-17-考点一考点二考点三对点练习(2015安徽合肥模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+1,则数列{an}的通项公式an=.3,𝑛=1,2𝑛,𝑛≥2第六章6.1数列的概念与简单表示考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-18-考点一考点二考点三由递推关系式求数列的通项公式考情分析高考对递推公式的考查难度适中,一般不会出现关于三项的关系式,也不会要求直接由递推公式求出通项公式,一般是通过变换转化成特殊的数列求解.常见的命题角度有:(1)形如an+1=anf(n),求an;(2)形如an+1=an+f(n),求an;(3)形如an+1=Aan+B(A≠0,且A≠1),求an.第六章6.1数列的概念与简单表示考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-19-考点一考点二考点三类型一形如an+1=anf(n),求an例1在数列{an}中,已知a1=1,nan-1=(n+1)an(n≥2),求数列{an}的通项公式.解:an=𝑎𝑛𝑎𝑛-1·𝑎𝑛-1𝑎𝑛-2·𝑎𝑛-2𝑎𝑛-3·…·𝑎3𝑎2·𝑎2𝑎1·a1=𝑛𝑛+1×𝑛-1𝑛×𝑛-2𝑛-1×…×34×23×1=2𝑛+1.∵a1也满足上式,∴an=2𝑛+1(n∈N*).第六章6.1数列的概念与简单表示考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-20-考点一考点二考点三类型二形如an+1=an+f(n),求an例2在数列{an}中,已知a1=2,an+1=an+3n+2,求数列{an}的通项公式.解:∵an+1-an=3n+2,∴an-an-1=3n-1(n≥2).∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=𝑛(3𝑛+1)2(n≥2).当n=1时,a1=12×(3×1+1)=2符合公式,∴an=32n2+𝑛2.第六章6.1数列的概念与简单表示考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-21-考点一考点二考点三类型三形如an+1=Aan+B(A≠0,且A≠1),求an例3已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2,求数列{an}的通项公式.解:∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1).∴数列{an+1}为等比数列,且公比q=3.又a1+1=2,∴an+1=2·3n-1.∴an=2·3n-1-1.∴𝑎𝑛+1+1𝑎𝑛+1=3.第六章6.1数列的概念与简单表示考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-22-考点一考点二考点三方法总结数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项.由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有:①求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式;②将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列;③若递推关系为an+1=an+f(n)或an+1=f(n)·an,则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式,或用迭代法求得通项公式.第六章6.1数列的概念与简单表示考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-23-考点一考点二考点三对点练习根据下列条件,确定数列{an}的通项公式:(1)a1=2,an+1=an+ln1+1𝑛;(2)a1=1,an=𝑛-1𝑛an-1(n≥2).第六章6.1数列的概念与简单表示考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-24-考点一考点二考点三解:(1)(方法一)∵an+1=an+ln1+1𝑛,∴an+1-an=ln𝑛+1𝑛.∴an-an-1=ln𝑛𝑛-1,an-1-an-2=ln𝑛-1𝑛-2,…,a2-a1=ln21.∴an-a1=ln𝑛𝑛-1+ln𝑛-1𝑛-2+…+ln21=lnn.又a1=2,∴an=lnn+2.(方法二)∵an+1=an+ln1+1𝑛,∴an+1-an=ln𝑛+1𝑛.又a1=2,∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=ln𝑛𝑛-1+ln𝑛-1𝑛-2+…+ln21+2=lnn+2,即an=lnn+2.第六章6.1数列的概念与简单表示考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-25-考点一考点二考点三(2)∵an=𝑛-1𝑛an-1(n≥2),∴an-1=𝑛-2𝑛-1an-2,…,a2=12a1.以上(n-1)个式子相乘,得an=a1·𝑎2𝑎1·…·𝑎𝑛𝑎𝑛-1=a1×12×23×…×𝑛-1𝑛=𝑎1𝑛=1𝑛.又a1=1,∴an=1𝑛.第六章6.1数列的概念与简单表示考情概览知识梳理核心考点学科素养学科素养-26-思想方法满分策略用函数的观点解决数列问题数列是一种特殊的函数,在函数的观点下指导数列学习,通过函数的思想观点去直观地认识数列的本质是高考能力立意的指导思想.数列的通项及前n项和的作用在于刻画an及Sn与n的函数关系,数列的性质可以通过函数的性质反映出来,这为数列问题的解决提供了一个新的方向.在数列中,求an和Sn的最值问题都可以通过求相应函数的最值的方法求得,通常利用函数的单调性,要注意自变量不连续.