2017年高考真题 理科数学 (天津卷)

理科数学2017年高三2017年天津卷理科数学理科数学考试时间：____分钟题型单选题填空题简答题总分得分单选题（本大题共8小题，每小题____分，共____分。）1.设集合，则()A.B.C.D.2.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为()A.B.1C.D.33.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为24，则输出的值为()A.0B.1C.2D.34.设，则“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A.B.C.D.6.已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为()A.B.C.D.7.设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则()A.，B.，C.，D.，8.已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是()A.B.C.D.填空题（本大题共6小题，每小题____分，共____分。）9.已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为____.10.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____.11.在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为___________.12.若，，则的最小值为___________.13.在中，，，.若，，且，则的值为___________.14.用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）简答题（综合题）（本大题共6小题，每小题____分，共____分。）15.在中，内角所对的边分别为.已知，，.（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.16.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为.（Ⅰ）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.17.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.18.已知为等差数列，前n项和为，是学科.网首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和.19.设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.20.设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）设，函数，求证：；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且满足.答案单选题1.B2.D3.C4.A5.B6.C7.A8.A填空题9.10.11.212.413.14.简答题15.(1).；(2)16.(1)(2)17.（1）证明见解析（2）（3）或18.（1）..（2）.19.（1），.（2），或.20.（1）增区间是，，减区间是.（2）见解析（3）证明见解析解析单选题1.,选B.2.目标函数为四边形ABCD及其内部，其中，所以直线过点B时取最大值3，选D3.依次为,，输出，选C.4.但不满足，所以是充分不必要条件，选A.5.由题意得，选B.6.奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）=0，且f′（x）＞0，∴g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数，∴a=g（-log25.1）=g（log25.1），则2＜-log25.1＜3，1＜20.8＜2，由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），∴b＜a＜c，故选C．7.由题意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故选A．8.当时，关于x的不等式在R上恒成立，即为即有由的对称轴为，可得处取得最大值-由的对称轴为，可得处取得最小值，则①当x＞1时，关于x的不等式在R上恒成立，即为，即有由（当且仅当）取得最大值；由（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．则②由①②可得，-综上．故选A．填空题9.为实数，则10.设正方体边长为，则，外接球直径为11.直线为，圆为，因为，所以有两个交点12.，当且仅当时取等号13.,则14.根据题意，分2种情况讨论：①四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有A54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；②四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53•C41=40种取法，将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序，则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；故答案为：1080．简答题15.（Ⅰ）在△ABC中，∵，故由，可得由已知及余弦定理，有b2＝a2+c2−2accosB＝25+36−2×5×6×=13∴，由正弦定理，得．∴，；（Ⅱ）由（Ⅰ）及，得，∴,,故．16.（Ⅰ）随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.，，，.所以，随机变量的分布列为随机变量的数学期望.（Ⅱ）设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.17.（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则，，设平面MEN的一个法向量为，由，得，取z=2，得．由图可得平面CME的一个法向量为．∴cos＜＞=．∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为，则正弦值为；（Ⅲ）解：设AH=t，则H（0，0，t），，．∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为，∴|cos＜＞|=||=||=．解得：t=或t=．∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为或．18.（I）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2-6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，bn=2n．由b3=a4-2a1，可得3d-a1=8①．由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n-2．所以，数列{an}的通项公式为an=3n-2，数列{bn}的通项公式为bn=2n．（II）设数列{a2nb2n-1}的前n项和为Tn，由，，有，故，，上述两式相减，得得.所以，数列的前项和为.19.（Ⅰ）解：设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.（Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），联立方程组，解得点P（﹣1，﹣），故Q（﹣1，）．联立方程组，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣．∴B（，）．∴直线BQ的方程为（﹣）（x+1）﹣（）（y﹣）=0，令y=0，解得x=，故D（，0）．∴|AD|=1﹣=．又∵△APD的面积为，∴×=，整理得3m2﹣2|m|+2=0，解得|m|=，∴m=±．所以，直线的方程为，或.20.（Ⅰ）由，可得，进而可得.令，解得，或.当x变化时，的变化情况如下表：所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是.（Ⅱ）证明：由，得，.令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），则H′1（x）=g′（x）（x﹣x0）．由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，故当x∈[1，x0）时，H′1（x）＜0，H1（x）单调递减；当x∈（x0，2]时，H′1（x）＞0，H1（x）单调递增．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H1（x）＞H1（x0）=﹣f（x0）=0，可得H1（m）＞0即h（m）＞0，令函数H2（x）=g（x0）（x﹣x0）﹣f（x），则H′2（x）=g′（x0）﹣g（x）．由（Ⅰ）知，g（x）在[1，2]上单调递增，故当x∈[1，x0）时，H′2（x）＞0，H2（x）单调递增；当x∈（x0，2]时，H′2（x）＜0，H2（x）单调递减．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H2（x）＞H2（x0）=0，可得得H2（m）＜0即h（x0）＜0，．所以，h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）证明：对于任意的正整数，，且，令，函数.由（II）知，当时，在区间内有零点；当时，在区间内有零点.所以h（x）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x1，则h（x1）=g（x1）（﹣x0）﹣f（）=0．由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上单调递增，故0＜g（1）＜g（x1）＜g（2），于是|﹣x0|=≥=．因为当x∈[1，2]时，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）在区间[1，2]上除x0外没有其他的零点，而≠x0，故f（）≠0．又因为p，q，a均为整数，所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数，从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．所以.所以，只要取，就有.